\documentclass[11pt,a4paper,twoside]{article} \usepackage[utf8]{vietnam} %\usepackage{ucs} \usepackage{amsmath} %\usepackage{ntheorem} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,enumerate,multicol} \usepackage[top=1.5cm,bottom=1cm,inner=1cm,outer=1cm]{geometry} \setlength{\columnseprule}{0.5pt} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \lhead[Trang \thepage ]{\textsf{THPT Trung Phú}} \chead[BÀI TẬP HÌNH HỌC 11]{BÀI TẬP HÌNH HỌC 11 } \rhead[\textsf{THPT Trung Phú}]{Trang \thepage } \lfoot[]{} \cfoot[]{} \rfoot[]{} \newcommand{\vt}[1]{\overrightarrow{#1}} \begin{document} \section{TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG} \begin{multicols}{2} \begin{enumerate}[{Bài} \it 1.] \item Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. Tim giao tuyến của: \begin{enumerate}[a) ] \item $(SAC)$ và $(SBD)$ \item $(SAB)$ và $(SCD)$ \item $(SAD)$ và $(SBC)$ \end{enumerate} \item Cho tứ diện $ABCD$ có $I,J$ lần lượt là trung điểm $AC,BC;$ $K \in BD: KDCD . Gọi $M \in SA$,$N \in AB$,$ P \in BC$.Tìm giao diểm : \begin{enumerate}[a)] \item MP và (SBD) \item SD và (MNP) \item SC và (MNP) \end{enumerate} \item Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O.Gọi M,N là trung điểm SB,AD và G là trọng tâm $\triangle SAD$. \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao điểm I của GM và (ABCD) \item Tìm giao điểm J của AD và (OMG) \item Tìm giao diểm K của SA và (OGM) \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD có M,N lần lượt là trung điểm của SA,AC; $P \in AB :2PB=AB, N \in SC :SC=3SN$.Tìm giao điểm: \begin{enumerate}[a)] \item SI và (MNP) \item AC và (MNP) \item SB và (MNP) \item BC và (MNP) \end{enumerate} \item Cho chóp S.ABCD có đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song và $I \in SA$.Tìm giao điểm : \begin{enumerate}[a)] \item SD và (IBC) \item IC và (SBD) \item SB và (ICD) \end{enumerate} \item Cho tứ diện ABCD có $M \in AC, N \in AD$ và P nằm bên trong $\triangle BCD$.Tìm giao điểm: \begin{enumerate}[a)] \item CD và (ABP) \item MN và (ABP) \item AP và (BMN) \end{enumerate} \item Cho chóp S.ABCD có đáy là hình thang, $AB \parallel CD ,AB >CD$. Lấy I,J,K nằm trên SA,CD,BC. \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến (IJK) và (SAB) \item Tìm giao tuyến (IJK) và (SAC) \item Tìm giao tuyến (IJK) và (SAD) \item Tìm giao điểm của SB và (IJK) \item Tìm giao điểm của IC và (SJK) \end{enumerate} \item Cho chóp S.ABCD có đáy là hình thang,đáy lớn AB.Lấy K thuộc đoạn BC, I trung điểm SA, J thuộc đoạn AB. \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao điểm của KI và (SBD) \item Tìm giao tuyến của (IJK) và (SCD) \end{enumerate} \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{THẲNG HÀNG, ĐỒNG QUY} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[{Bài} \it 1.] \item Cho chóp S.ABC có D,E,F lần lượt trên SA,SB,SC sao cho $DE \cap AB =I,EF \cap BC=J,FD \cap AC=K$ \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến (ABC) và (DEF) \item CMR:I,J,K thẳng hàng \end{enumerate} \item Cho chóp S.ABCD có $AD \nparallel BC$, $M \in SB$, O giao điểm của AC và BD \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao điểm N của SC và (ADM) \item DM cắt AN tại I. CMR:S,I,O thẳng hàng \end{enumerate} \item Cho chóp S.ABCD có $AB \nparallel CD$, M trung điểm SC. \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao điểm N của SD và (ABM) \item $O= AC \cap BD$. CMR: SO,AM,BN đồng quy \end{enumerate} \item Cho chóp S.ABCD có $AB \cap CD =E$ và I,J là trung điểm SA,SB;lấy N tùy ý trên SD. \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao điểm M của SC và (IJN) \item CMR: IJ,MN,SE đồng quy \end{enumerate} \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{THIẾT DIỆN} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[{Bài} \it 1.] \item Cho chóp S.ABCD, $BC \nparallel AD$,M trung điểm SA.Tìm thiết diện của chóp và (BCM) \item Cho tứ diện ABCD có M,N lần lượt là trung điểm AB,CD; P $\in$ AD và không là trung điểm AD. Tìm thiết diện của chóp và (MNP) \item Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O.Gọi M,N là trung điểm AD,CD; I là điểm trên SO. Tìm thiết diện hình chóp và (MNI). \item Cho chóp S,ABCD có đáy là hình bình hành.Gọi I,J,K là trung điểm BC,CD,SA.Tìm thiết diện của hình chóp và (IJK) \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{TỔNG HỢP} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[{Bài}\it 1.] \item Cho chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O.Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm SB,SD,OC. \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến (MNP) và (SAC) \item Tìm giao điểm SA và (MNP) \item Xác định thiết diện của chóp và (MNP) \end{enumerate} \item Cho chóp S.ABCD, M $\in$ SC; N,P trung điểm AB,AD. \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao điểm của CD và (MNP) \item Tìm giao điểm của SD và (MNP) \item Tìm giao tuyến của (SBC) và (MNP) \item Tìm thiết diện của chóp và (MNP) \end{enumerate} \item Cho chóp S.ABCD có I,J là hai điểm trên AD và SB. \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD); (SAC) và (SBI) \item Tìm giao điểm K của IJ và (SAC) \item Tìm giao điểm L của DJ và (SAC) \item CMR: A,K,L thẳng hàng \end{enumerate} \item Cho chóp S.ABCD có AD $\nparallel$ BC. $I \in SA :SA=3IA, J \in SC$; M là trung điểm SB. \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC) \item Tìm giao điểm E của AB và (IJM) \item Tìm giao điểm F của BC và (IJM) \item Tìm giao điểm N của SD và (IJM) \item Gọi $H=MN \cap BD$. CMR:H,E,F thẳng hàng \end{enumerate} \item Cho chóp S.ABCD đáy hình thang,AB đáy lớn .I,J trung điểm SA,SB; $M \in SD$. \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến (SAD) và (SBC) \item Tìm giao điểm K của IM và (SBC) \item Tìm giao điểm N của SC và (IJM) \item Tìm thiết diện của chóp và (IJM) \end{enumerate} \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ CHÉO NHAU} \subsection{Vấn đề 1: Chứng minh hai đường thẳng song song} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[{Bài} 1.] \item Cho tứ diện ABCD có I,J là trọng tâm $\triangle ABC, \triangle ABD$. CMR: $IJ \parallel CD$ \item Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ,đáy lớn AB. Gọi M,N lần lượt là trung điểm SA,SB. \begin{enumerate}[a)] \item CMR:$MN \parallel CD$ \item Tìm giao điểm P của SC và (AND) \item AN cắt DP tại I. CMR: $SI \parallel AB \parallel CD$.Tứ giác SABI là hình gì? \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. có M,N,P,Q l lượt nằm trên BC,SC,SD,AD sao cho $MN \parallel SB,NP \parallel CD,MQ \parallel CD$. \begin{enumerate} \item CMR: $PQ \parallel SA$ \item Gọi K là giao điểm MN và PQ. CMR: $SK \parallel AD \parallel BC$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình bình hành. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm BC, CD, SB, SD. \begin{enumerate} \item CMR: $MN \parallel PQ$ \item Gọi I là trọng tâm $\triangle ABC$, $J \in SA$ sao cho :$\dfrac{JS}{JA}=\dfrac{1}{2}$. CMR: $IJ \parallel SM$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \subsection{Vấn đề 2: Tìm giao tuyến, giao điểm dùng quan hệ song song:} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[{Bài} 1.] \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến của (SAD) \& (SBC); (SAB) \& (SCD) \item Lấy $M \in SC$. Tìm giao điểm N của SD và (ABM). Tứ giác ABMN là hình gì? \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M, H, K lần lượt là trung điểm AD, SA, SB. \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến d của (SAD) và (SBC) \item Tìm giao tuyến của (SCD) và (MHK) \item Tìm giao điểm N của BC và (MHK). Tứ giác MHKN là hình gì? \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (AB đáy lớn). Gọi I, J, K là trung điểm AD, BC, SB. \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD); (SCD) và (IJK) \item Tìm giao điểm M của SD và (IJK) \item Tìm giao điểm N của SA và (IJK) \item Xác định thiết diện của hình chóp và (IJK). Thiết diện là hình gì? \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành. Gọi M,N,P là trung điểm SB,BC,SD \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến của (SCD) và (MNP) \item Tìm giao điểm của CD và (MNP) \item Tìm giao điểm của AB và (MNP) \item Tìm giao tuyến của (SAC) và (MNP), suy ra thiết diện của hình chóp và (MNP). \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD, đáy ADBC, ABCD. Gọi M, E, F là trung điểm AB, SA, SD. \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến (MEF) và (ABCD) \item Tìm giao điểm BC và (MEF) \item Tìm giao điểm SC và (MEF) \item Gọi O = ACBD. Tìm giao điểm SO và (MEF). \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm OB, SO, BC. \begin{enumerate} \item Tìm giao tuyến (NPO) và (SCD); (SAB) và (AMN) \item Tìm giao điểm E của SA và (MNP) \item CMR: ME $\parallel$ PN \item Tìm giao điểm MN và (SCD) \item Tìm thiết diện hình chóp và (MNP) \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P là trung điểm AB, BC, SC. Cho SB = AC. \begin{enumerate} \item Tìm giao điểm E của SA và (MNP) \item CMR: NP $\parallel$ ME $\parallel$ SB. Tứ giác MNPE là hình gì? \item Tìm giao tuyến (ANP) và (SMC) \item Tìm giao điểm SM và (ANP) \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P là trung điểm SB, SD, OD. \begin{enumerate} \item Tìm giao điểm I của BC và (AMN); tìm giao điểm J của CD và (AMN) \item Tìm giao điểm K của SA và (CMN) \item Tìm giao tuyến của (NPK) và (SAC) \item Tìm giao điểm của SC và (NPK) \item Tìm thiết diện hình chóp và (AMN) \end{enumerate} \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG } \subsection{Vấn đề 1: Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng:} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[{Bài} 1.] \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, CD, SA. \begin{enumerate} \item CMR: MN $\parallel$ (SBC); MN $\parallel$ (SAD) \item CMR: SB $\parallel$ (MNP); SC $\parallel$ (MNP) \item Gọi I, J là trọng tâm . CMR: IJ $\parallel$ (SAB) , IJ $\parallel$ (SAD), IJ $\parallel$ (SAC). \end{enumerate} \item Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm , MBC sao cho MB = 2MC. CMR: MG $\parallel$ (ACD) \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi I, J là trung điểm BC, SC. KSD sao cho SK = KD. \begin{enumerate} \item CMR: OJ $\parallel$ (SAD), OJ $\parallel$ (SAB) \item CMR: IO $\parallel$ (SCD), IJ $\parallel$ (SBD) \item Gọi M là giao điểm của AI và BD. CMR: MK $\parallel$ (SBC) \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O. Gọi M, N, P là trung điểm SB, SO, OD \begin{enumerate} \item CMR: MN $\parallel$ (ABCD), MO $\parallel$ (SCD) \item CMR: NP $\parallel$ (SAD), NPOM là hình gì? \item Gọi ISD sao cho SD = 4ID. CMR: PI $\parallel$ (SBC), PI $\parallel$ (SA\item \end{enumerate} \item Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng có tâm lần lượt là I và J. \begin{enumerate} \item CMR: IJ $\parallel$ (ADF) và IJ $\parallel$ (BCE) \item Gọi M, N là trọng tâm . CMR: MN $\parallel$ (CEF) \end{enumerate} \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \subsection{Vấn đề 2: Thiết diện song song với một đường thẳng cho trước:} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[{Bài} 1.] \item Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N là 2 điểm trên AB, CD. Mặt phẳng $(\alpha) $ qua MN và song song SA. \begin{enumerate} \item Tìm giao tuyến của (SAB) và $(\alpha) $ ; (SAC) và $(\alpha)$ \item Xác định thiết diện của hình chóp và $(\alpha)$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. M là trung điểm AB, mặt phẳng $(\alpha) $ qua M và song song BD, SA. Xác định thiết diện hình chóp và $(\alpha) $ \item Cho tứ diện ABCD. M là trung điểm AD, N là điểm bất kỳ trên BC. Mặt phẳng chứa $(\alpha) $ MN và $\parallel$ CD. Xác định thiết diện của tứ diện và mặt phẳng $(\alpha)$ \item Cho tứ diện ABCD. Điểm M tùy ý trên BC. Mặt phẳng $(\alpha)$ qua M và song song với AC, BD. Xác định thiết diện của tứ diện và mặt phẳng $(\alpha)$. \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{HAI MẶT PHẲNG SONG SONG} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[{Bài} 1.] \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P, Q là trung điểm SA, SD, AB, ON. \begin{enumerate} \item CMR: (OMN) $\parallel$ (SBC) \item CMR: PQ $\parallel$ (SBC) \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P là trung điểm SA, CD, AD. \begin{enumerate} \item CMR: (OMN) $\parallel$ (SBC) \item Gọi I là điểm trên MP. CMR: OI $\parallel$ (SCD) \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là trung điểm BC, AB, SB, AD. \begin{enumerate} \item CMR: (MNP) $\parallel$ (SAC) \item CMR: PQ $\parallel$ (SCD) \item Gọi I là giao điểm AM và BD, JSA sao cho AJ = 2JS. CMR: IJ $\parallel$ (SBC) \item Gọi K$\in$AC. Tìm giao tuyến (SKM) và (MNC) \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi I, J, G, P, Q là trung điểm DC, AB, SB, BG, BI. \begin{enumerate} \item CMR: (IJG) $\parallel$ (SAD) \item CMR: PQ $\parallel$ (SAD) \item Tìm giao tuyến của (SAC) và (IJG) \item Tìm giao tuyến của (ACG) và (SAD) \end{enumerate} \item Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không đồng phẳng. Gọi I, J, K là trung điểm AB, CD, EF. \begin{enumerate} \item CMR: (ADF) $\parallel$ (BCE) \item CMR: (DIK) $\parallel$ (JBE) \end{enumerate} \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{HÌNH LĂNG TRỤ - HÌNH CHÓP CỤT} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[{Bài} 1.] \item Cho lăng trụ ABC.A'B'C' cạnh bên AA’, BB’, CC’. Gọi M, M’ là trung điểm BC, B’C’ \begin{enumerate} \item CMR: AM $\parallel$ A’M’ \item Tìm giao điểm A’M và (AB’C’) \item Tìm giao tuyến d của (AB’CD) và (BA’C’) \item Tìm giao điểm của d với (AMA’) \end{enumerate} \item Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi H là trung điểm A’B’. \begin{enumerate} \item CMR: CB’ $\parallel$ (AHC’) \item Tìm giao tuyến d của (AB’C’) và (A’BC) \item CMR: d $\parallel$ (BB’C’C) \end{enumerate} \item Cho chóp cụt tam giác ABC.A’B’C’ với ABC là đáy lớn. Gọi S là điểm đồng quy của 3 đường thẳng AA’, BB’, CC’. CMR: $\dfrac{SA'}{SA}=\dfrac{SB'}{SB}=\dfrac{SC'}{SC}$ \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{BÀI TẬP TỔNG HỢP} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[{Bài} 1.] \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm SA, CD \begin{enumerate} \item CMR: (OMN) $\parallel$ (SBC) \item Tìm giao điểm I của ON và (SAB) \item Gọi G = SI$\cup$ BM, H là trọng tâm $\triangle$SCD. CMR: GH $\parallel$ (SAD) \item Gọi J là trung điểm AD, E $\in $MJ. CMR: OE $\parallel$ (SCD) \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P là trung điểm BC, CD, SC. \begin{enumerate} \item CMR: (MNP) $\parallel$ (SBD) \item Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD) \item Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD). Suy ra giao điểm của SA và (MNP) \item Gọi I = AP$\cup$SO, J = AM$\cup$SO. CMR: IJ $\parallel$ (MNP) \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. Gọi I, J, K là trung điểm SA, SB, BC \begin{enumerate} \item CMR: IJ $\parallel$ (SCD), (IJK) $\parallel$ (SCD) \item CMR: (IJK) $\parallel$ SD \item Tìm giao điểm AD và (IJK) \item Xác định thiết diện hình chóp và (IJK) \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (AB là đáy lớn). Gọi M, N là trung điểm BC, SB; P $\in$AD sao cho 2PD = PA. \begin{enumerate} \item CMR: MN $\parallel$ (SCD) \item Tìm giao điểm SA và (MNP) \item Tìm giao điểm SO và (MNP) (với O = AC$\cup$BD) \item Gọi G là trọng tâm $\triangle SAB$. CMR: GP $\parallel$ (SBD) \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi Q, E, F, I là trung điểm BC, AD, SD, SB. \begin{enumerate} \item CMR: FO $\parallel$ (SBC) \item CMR: AI $\parallel$ (QEF) \item Tìm giao điểm J của SC và (QEF). CMR: (IJE) $\parallel$ (ABCD) \item Tìm thiết diện hình chóp và (IJF). Thiết diện là hình gì? \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N là trung điểm SB, SC; lấy điểm P$\in$SA. \begin{enumerate} \item Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD) \item Tìm giao điểm SD và (MNP) \item Tìm thiết diện hình chóp và (MNP). Thiết diện là hình gì? \item Gọi J$\in$MN. CMR: OJ $\parallel$ (SAD) \end{enumerate} \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN \&\\ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[{Bài} 1.] \item Cho tứ diện ABCD: \begin{enumerate} \item CMR: $\vt{AC}+\vt{BD}=\vt{AD}+\vt{BC}$ \item I, J là trung điểm AD, BC. G là trọng tâm tam giác BCD. CMR: \begin{enumerate} \item $\vt{AB}+\vt{DC}=2\vt{IJ}$ \item $\vt{AB}+\vt{AC}+\vt{AD}=3\vt{AG}$ \end{enumerate} \end{enumerate} \item Cho tứ diện ABCD \begin{enumerate} \item Tìm G sao cho: $\vt{GA}+\vt{GB}+\vt{GC}+\vt{GD}=\vt{0}$ \item CMR $\forall O$ ta có:$\vt{OA}+\vt{OB}+\vt{OC}+\vt{OD}=4\vt{OG}$ (G là trọng tâm tứ diện) \end{enumerate} \item Cho 2 tứ diện ABCD, A’B’C’D’. CMR hai tứ diện có cùng trọng tâm khi và chỉ khi: $\vt{AA'}+\vt{BB'}+\vt{CC'}+\vt{DD'}=\vt{0}$ \item Cho tứ diện ABCD. M $\in$ AB, N $\in$ CD sao cho: $\vt{MA}=-2\vt{MB},\vt{ND}=-2\vt{NC}$ . Các điểm I, J, P thuộc AD, MN, BC mà $\vt{IA}=k\vt{ID},\vt{JM}=k\vt{JN},\vt{PB}=k\vt{PC}$. Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng. \item Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. \begin{enumerate} \item CMR: $\vt{AB}+\vt{AD}+\vt{AA'}=\vt{AC'}$ \item CMR: $\vt{AB'}+\vt{B'C'}+\vt{D'D}=\vt{A'C}$ \end{enumerate} \item Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Đặt $\vt{AA'}=\vt{a},\vt{BB'}=\vt{b},\vt{CC'}=\vt{c}$ \begin{enumerate} \item Hãy biểu thị $\vt{B'C},\vt{BC'}$ theo $\vt{a},\vt{b},\vt{c}$ \item G’ là trọng tâm A’B’C’. Biểu thị $\vt{AG'}$ theo $\vt{a},\vt{b},\vt{c}$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp SABC. Lấy M $\in$ SA, N$\in$BC sao cho: $\vt{MB}=-2\vt{MA},\vt{NB}=\dfrac{1}{2}\vt{CN}$ . CMR: $\vt{AB},\vt{MN},\vt{SC}$ đồng phẳng. \item Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi K là giao điểm AD’ và DA’. I là giao điểm BD’ và DB’. CMR $\vt{AC},\vt{KI},\vt{B'C'}$đồng phẳng. \item Cho tứ diện ABCD. Lấy M$\in$ AD,N $\in$ BC sao cho: $\vt{AM}=3\vt{MD},\vt{NB}=-3\vt{NC}$. CMR $ \vt{AB},\vt{DC},\vt{MN}$ đồng phẳng. \item Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. I, J là trung điểm BB’, A’C’. K$\in$B'C' sao cho: $\vt{KC}=-2\vt{KB'}$ . CMR A, I, J, K đồng phẳng \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[{Bài} 1.] \item Cho hình chóp S.ABC đáy là ABC vuông cân tại B, SA$\bot$(ABC) \begin{enumerate} \item CMR: các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông \item Kẻ đường cao AD của SAB và đường cao AE của SAC. CMR: ADE vuông và SC$\bot$DE. \item CMR: \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông, SA$\bot$(ABCD). \begin{enumerate} \item CMR: BC$\bot$(SAD) ; CD$\bot$(SAD) \item CMR: BD$\bot$(SAC) \item Kẻ AE$\bot$SB. CMR: SB$\bot$(ADE) \item CMR: \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông, SA = SB = SC = SD. \begin{enumerate} \item CMR: SO$\bot$(ABCD) \item CMR: BD$\bot$(SAC) \item Gọi I là trung điểm AB. CMR: AB$\bot$(SOI) \item Kẻ đường cao OJ của SOI. CMR: SA$\bot$OJ \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O cạnh a. SA$\bot$(ABCD) và $SA = a\sqrt{3}$ \begin{enumerate} \item CMR: các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông \item Tính góc giữa SD và (ABCD); SC và (SAD) \item Vẽ AH$\bot$SB, AK$\bot$SD. CMR: AH$\bot$(SBC) ; SC$\bot$(AHK) \item CMR: BD$\bot$(SAC) \item Tính góc giữa SD và (SAC) \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O. Hai tam giác SAB và SAC vuông ở A, cho SA = a, $AC = 2a\sqrt{3}$ \begin{enumerate} \item CMR: SA$\bot$(ABCD) \item CMR: BD$\bot$SC \item Vẽ AH là đường cao của SAO. CMR: AH$\bot$(SBC) \item Tính góc giữa AO và (SBD) . \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông tâm O, SO$\bot$(ABCD), $SO = a\sqrt{3}$, $AB = a\sqrt{2}$. \begin{enumerate} \item CMR: BD$\bot$SA; AC$\bot$SB \item Vẽ CI$\bot$SD, OJ$\bot$SC. CMR: SD$\bot$(ACI); SC$\bot$(BDJ) \item K là trung điểm SB. CMR: OK$\bot$OI \item Tính góc giữa SA và (ABCD) \end{enumerate} \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[{Bài} 1.] \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông, SA$\bot$(ABCD) \begin{enumerate} \item CMR: (SAC)$\bot$ (SBD) \item Gọi BE, DF là đường cao $\triangle SBD$. CMR: (AFC)$\bot$(SBC); (AEF)$\bot$(SAC) \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA = a, SA$\bot$(ABCD) \begin{enumerate} \item CMR: (SAB)$\bot$(SAD); (SBC)$\bot$(SAB); (SCD)$\bot$(SAD) \item CMR: (SAC)$\bot$(SBD) \item Gọi AI, AJ là đường cao SAB,SAC. CMR: (SCD)$\bot$(AIJ) \item Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) \& (ABCD), (SBD) \& (ABCD) \end{enumerate} \item Cho tứ diện ABCD, AD$\bot$(ABC), DE là đường cao của $\triangle BCD$ \begin{enumerate} \item CMR: (ABC)$\bot$(ADE) \item Vẽ đường cao BF và đường cao BK của $\triangle ABC$ và $\triangle BCD$. CMR: (BFK)$\bot$(BCD) \item Gọi I, J là trực tâm ,. CMR: IJ$\bot$(BCD) \end{enumerate} \item Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I, J là trung điểm AB, CD. Trên đường thẳng vuông góc (ABCD) tại I lấy S . \begin{enumerate} \item CMR: BC$\bot$(SAB), CD$\bot$(SIJ) \item CMR: (SAD)$\bot$(SBC), (SAB)$\bot$(SIJ) \item Gọi M là trung điểm BC. CMR: (SIM)$\bot$(SBD) \item SI = a. Tính góc giữa (SCD) và (ABCD) \end{enumerate} \item Cho hình chóp đều S.ABCD, O là tâm ABCD. Gọi I là trung điểm AB, cho SA = a, AB = a. \begin{enumerate} \item CMR: (SAC)$\bot$(SBD), (SOI)$\bot$(ABCD) \item CMR: (SIO)$\bot$(SCD) \item Gọi OJ là đường cao SOI. CMR: OJ$\bot$SB \item Gọi BK là đường cao SBC. CMR: (SCD)$\bot$(BDK) \item Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy. \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, , (SAB)$\bot$(ABCD). Cho $AB = a, AD = a\sqrt{2}$. \begin{enumerate} \item CMR: SA$\bot$(ABCD), (SAD)$\bot$(SCD) \item AH là đường cao CMR: AH$\bot$(SBC), (SBC)$\bot$(AHC) \item CMR: DH$\bot$SB \item Tính góc giữa (SAC) và (SAD) \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O. Cho (SAB)$\bot$(ABCD), (SAD)$\bot$(ABCD). \begin{enumerate} \item CMR: SA$\bot$(ABCD), BD$\bot$(SAC) \item Gọi AH, AK là đường cao . CMR: AH$\bot$BD, AK$\bot$(SCD) \item CMR: (SAC)$\bot$(AHK) \item Tính góc giữa (SAC) và (SCD) (biết SA = a) \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O. SA$\bot$(ABCD), SA = a. \begin{enumerate} \item CMR: các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông \item CMR: BD$\bot$SC \item Tính góc giữa SC \& (ABCD); (SBD)\& (ABCD) \item Tính góc giữa (SCD) \& (ABCD). Tính diện tích hình chiếu của $\triangle SCD$ trên (ABCD) \end{enumerate} \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{KHOẢNG CÁCH} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[{Bài} 1.] \item Cho tứ diện SABC, $\triangle ABC$ vuông cân tại B, AC = SA = 2a và SA$\bot$(ABC) \begin{enumerate} \item CMR: (SAB)$\bot$(SBC) \item Tính d(A, (SBC)) \item Gọi O là trung điểm AC. Tính d(O, (SBC)) \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O. SA$\bot$(ABCD) và SA = 2a; dựng BK$\bot$SC. \begin{enumerate} \item CMR: SC$\bot$(DBK) \item Tính d(A, (SBC)); d(A, (SDC)); d(O, (SBC)) \item Tính d(BD, SC); d(AD, BK) \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đều, O là tâm hình vuông ABCD, cạnh bên bằng 2a, cạnh đáy bằng a. Gọi I, J là trung điểm AB, CD. \begin{enumerate} \item CMR: (SIJ)$\bot$ (SAB) \item Tính d(O, (SCD)); d(I, (SCD)) \item Tính d(SC, BD); d(AB, SD) \end{enumerate} \item Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc $A=60^0$ , đường cao SO = a. \begin{enumerate} \item Tính d(O, (SBC)) \item Tính d(AD, SB) \end{enumerate} \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{DIỆN TÍCH - HÌNH CHIẾU} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[{Bài} 1.] \item Cho tam giác ABC đều cạnh a, nằm trong mặt phẳng . Trên đường vuông góc với $(\alpha)$ tại B,C vẽ $BD=a\dfrac{\sqrt{2}}{2},CE=a\sqrt{2}$ nằm cùng phía với mặt phẳng $(\alpha)$ . \begin{enumerate} \item CMR tam giác ADE vuông. \item Tính diện tích tam giác ADE. \item Tìm góc giữa (ADE) và $(\alpha)$ . \end{enumerate} \item Cho tam giác ABC có . B, C là hình chiếu của E, F lên $(\beta)$ sao cho tam giác ABF là tam giác đều cạnh a. $CF = a. BE = \dfrac{a}{2}$. \begin{enumerate} \item Gọi $I=BC \cup EF$ .CMR: $AI \bot AC$ \item Tính diện tích tam giác ABC. \item Tính góc giữa (ABC) và $(\beta)$. \end{enumerate} \item Cho tam giác ABC cân, đáy BC = 3a, BC$\bot$ $(\beta)$ , đường cao $a\sqrt{3}$ . D là hình chiếu của A lên $(\beta)$ sao cho tam giác DBC vuông tại D. Tìm góc giữa (ABC) và $(\beta)$ . \item Cho tam giác ABC đều cạnh a. Từ các đỉnh A, B, C vẽ các nửa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa ABC. Lấy D, E, F nằm cùng phía đối với mặt phẳng chứa ABC sao cho DA = a, BE = 2a, CF = x. \begin{enumerate} \item Tìm x để tam giác DEF vuông tại D. \item Với x vừa tìm được ở câu a, tìm góc giữa (ABC) và (DEF). \end{enumerate} \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \end{document}