\documentclass[11pt,a4paper,twoside]{article} \usepackage[utf8]{vietnam} \usepackage{mathpazo} \usepackage{amsmath} \usepackage[unicode]{hyperref} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,enumerate,multicol} \usepackage[top=1.5cm,bottom=1cm,inner=1cm,outer=1cm]{geometry} \setlength{\columnseprule}{0.5pt}\setlength{\columnsep}{1cm} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancy} \lhead[Trang \thepage ]{\textsf{THPT}} \chead[\textbf{BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11}]{\textbf{BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11} } \rhead[\textsf{THPT}]{Trang \thepage } \lfoot[]{} \cfoot[]{} \rfoot[]{} \newcommand{\vt}[1]{\overrightarrow{#1}} \begin{document} \section{TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG} \begin{multicols}{2} \begin{enumerate}[\bf{Bài} 1.] \item Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. Tìm giao tuyến của: \begin{enumerate}[a) ] \item $(SAC)$ và $(SBD)$ \item $(SAB)$ và $(SCD)$ \item $(SAD)$ và $(SBC)$ \end{enumerate} \item Cho tứ diện $ABCD$ có $I,J$ lần lượt là trung điểm $AC,BC;$ $K \in BD: KDCD$. Gọi $M \in SA$,$N \in AB$,$ P \in BC$. Tìm giao điểm: \begin{enumerate}[a)] \item $MP$ và $(SBD)$ \item $SD$ và $(MNP)$ \item $SC$ và $(MNP)$ \end{enumerate} \item Cho chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N$ là trung điểm $SB,AD$ và $G$ là trọng tâm $\triangle SAD$. \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao điểm $I$ của $GM$ và $(ABCD)$ \item Tìm giao điểm $J$ của $AD$ và $(OMG)$ \item Tìm giao diểm $K$ của $SA$ và $(OGM)$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,AC$; $P \in AB: 2PB=AB, N \in SC: SC=3SN$. Tìm giao điểm: \begin{enumerate}[a)] \item $SI$ và $(MNP)$ \item $AC$ và $(MNP)$ \item $SB$ và $(MNP)$ \item $BC$ và $(MNP)$ \end{enumerate} \item Cho chóp $S.ABCD$ có đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song và $I \in SA$. Tìm giao điểm: \begin{enumerate}[a)] \item $SD$ và $(IBC)$ \item $IC$ và $(SBD)$ \item $SB$ và $(ICD)$ \end{enumerate} \item Cho tứ diện $ABCD$ có $M \in AC, N \in AD$ và $P$ nằm bên trong $\triangle BCD$. Tìm giao điểm: \begin{enumerate}[a)] \item $CD$ và $(ABP)$ \item $MN$ và $(ABP)$ \item $AP$ và $(BMN)$ \end{enumerate} \item Cho chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, $AB \parallel CD, AB >CD$. Lấy $I,J,K$ nằm trên $SA,CD,BC.$ \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến $(IJK)$ và $(SAB)$ \item Tìm giao tuyến $(IJK)$ và $(SAC)$ \item Tìm giao tuyến $(IJK)$ và $(SAD)$ \item Tìm giao điểm của $SB$ và $(IJK)$ \item Tìm giao điểm của $IC$ và $(SJK)$ \end{enumerate} \item Cho chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, đáy lớn $AB$. Lấy $K$ thuộc đoạn $BC$, $I$ trung điểm $SA$, $J$ thuộc đoạn $AB$. \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao điểm của $KI$ và $(SBD)$ \item Tìm giao tuyến của $(IJK)$ và $(SCD)$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{3 ĐIỂM THẲNG HÀNG, 3 ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[\bf{Bài} 1.] \item Cho chóp $S.ABC$ có $D,E,F$ lần lượt trên $SA,SB,SC$ sao cho $DE \cap AB =I$, $EF \cap BC=J$, $FD \cap AC=K$ \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến $(ABC)$ và $(DEF)$ \item CMR: $I,J,K$ thẳng hàng \end{enumerate} \item Cho chóp $S.ABCD$ có $AD \nparallel BC$, $M \in SB$, $O$ giao điểm của $AC$ và $BD$ \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao điểm $N$ của $SC$ và $(ADM)$ \item $DM$ cắt $AN$ tại $I$. CMR: $S,I,O$ thẳng hàng \end{enumerate} \item Cho chóp $S.ABCD$ có $AB \nparallel CD$, $M$ trung điểm $SC$. \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao điểm $N$ của $SD$ và $(ABM)$ \item $O= AC \cap BD$. CMR: $SO,AM,BN$ đồng quy \end{enumerate} \item Cho chóp $S.ABCD$ có $AB \cap CD =E$ và $I,J$ là trung điểm $SA,SB$; lấy $N$ tùy ý trên $SD$. \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao điểm $M$ của $SC$ và $(IJN)$ \item CMR: $IJ,MN,SE$ đồng quy \end{enumerate} \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{THIẾT DIỆN} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[\bf{Bài} 1.] \item Cho chóp $S.ABCD$, $BC \nparallel AD$, $M$ trung điểm $SA$. Tìm thiết diện của chóp và $(BCM)$ \item Cho tứ diện $ABCD$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,CD$; $P \in AD$ và không là trung điểm $AD$. Tìm thiết diện của chóp và $(MNP)$ \item Cho chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N$ là trung điểm $AD,CD$; $I$ là điểm trên $SO$. Tìm thiết diện hình chóp và $(MNI)$. \item Cho chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $I,J,K$ là trung điểm $BC,CD,SA$. Tìm thiết diện của hình chóp và $(IJK)$ \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{TỔNG HỢP} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[\bf{Bài} 1.] \item Cho chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $SB,SD,OC.$ \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến $(MNP)$ và $(SAC)$ \item Tìm giao điểm $SA$ và $(MNP)$ \item Xác định thiết diện của chóp và $(MNP)$ \end{enumerate} \item Cho chóp $S.ABCD$, $M \in SC$; $N,P$ trung điểm $AB,AD.$ \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao điểm của $CD$ và $(MNP)$ \item Tìm giao điểm của $SD$ và $(MNP)$ \item Tìm giao tuyến của $(SBC)$ và $(MNP)$ \item Tìm thiết diện của chóp và $(MNP)$ \end{enumerate} \item Cho chóp $S.ABCD$ có $I,J$ là hai điểm trên $AD$ và $SB$. \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$; $(SAC)$ và $(SBI)$ \item Tìm giao điểm $K$ của $IJ$ và $(SAC)$ \item Tìm giao điểm $L$ của $DJ$ và $(SAC)$ \item CMR: $A,K,L$ thẳng hàng \end{enumerate} \item Cho chóp $S.ABCD$ có $AD \nparallel BC$. $I \in SA:$ $SA=3IA$, $J \in SC$; $M$ là trung điểm $SB.$ \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ \item Tìm giao điểm $E$ của $AB$ và $(IJM)$ \item Tìm giao điểm $F$ của $BC$ và $(IJM)$ \item Tìm giao điểm $N$ của $SD$ và $(IJM)$ \item Gọi $H=MN \cap BD$. CMR: $H,E,F$ thẳng hàng \end{enumerate} \item Cho chóp $S.ABCD$ đáy hình thang $AB$ đáy lớn. $I,J$ trung điểm $SA,SB$; $M \in SD$. \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến $(SAD)$ và $(SBC)$ \item Tìm giao điểm $K$ của $IM$ và $(SBC)$ \item Tìm giao điểm $N$ của $SC$ và $(IJM)$ \item Tìm thiết diện của chóp và $(IJM)$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ CHÉO NHAU} \subsection{Vấn đề 1: Chứng minh hai đường thẳng song song} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[\bf{Bài} 1.] \item Cho tứ diện $ABCD$ có $I,J$ là trọng tâm $\triangle ABC, \triangle ABD$. CMR: $IJ \parallel CD$ \item Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy hình thang đáy lớn $AB$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $SA,SB.$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $MN \parallel CD$ \item Tìm giao điểm $P$ của $SC$ và $(AND)$ \item $AN$ cắt $DP$ tại $I$. CMR: $SI \parallel AB \parallel CD$. Tứ giác $SABI$ là hình gì? \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, có $M,N,P,Q$ l lượt nằm trên $BC,SC,SD,AD$ sao cho $MN \parallel SB,NP \parallel CD,MQ \parallel CD$. \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $PQ \parallel SA$ \item Gọi $K$ là giao điểm $MN$ và $PQ$. CMR: $SK \parallel AD \parallel BC$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình bình hành. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $BC, CD, SB, SD.$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $MN \parallel PQ$ \item Gọi $I$ là trọng tâm $\triangle ABC$, $J \in SA$ sao cho: $\dfrac{JS}{JA}=\dfrac{1}{2}$. CMR: $IJ \parallel SM$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \subsection{Vấn đề 2: Tìm giao tuyến, giao điểm dùng quan hệ song song:} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[\bf{Bài} 1.] \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến của $(SAD) \& (SBC); (SAB) \& (SCD)$ \item Lấy $M \in SC$. Tìm giao điểm $N$ của $SD$ và $(ABM)$. Tứ giác $ABMN$ là hình gì? \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. Gọi $M, H, K$ lần lượt là trung điểm $AD, SA, SB.$ \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến $d$ của $(SAD)$ và $(SBC)$ \item Tìm giao tuyến của $(SCD)$ và $(MHK)$ \item Tìm giao điểm $N$ của $BC$ và $(MHK)$. Tứ giác $MHKN$ là hình gì? \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thang ($AB$ đáy lớn). Gọi $I, J, K$ là trung điểm $AD, BC, SB.$ \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến $(SAB)$ và $(SCD); (SCD)$ và $(IJK)$ \item Tìm giao điểm $M$ của $SD$ và $(IJK)$ \item Tìm giao điểm $N$ của $SA$ và $(IJK)$ \item Xác định thiết diện của hình chóp và $(IJK).$ Thiết diện là hình gì? \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình bình hành. Gọi $M,N,P$ là trung điểm $SB,BC,SD$ \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến của $(SCD)$ và $(MNP)$ \item Tìm giao điểm của $CD$ và $(MNP)$ \item Tìm giao điểm của $AB$ và $(MNP)$ \item Tìm giao tuyến của $(SAC)$ và $(MNP)$, suy ra thiết diện của hình chóp và $(MNP).$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ADBC, ABCD.$ Gọi $M, E, F$ là trung điểm $AB, SA, SD.$ \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến $(MEF)$ và $(ABCD)$ \item Tìm giao điểm $BC$ và $(MEF)$ \item Tìm giao điểm $SC$ và $(MEF)$ \item Gọi $O = ACBD$. Tìm giao điểm $SO$ và $(MEF).$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O.$ Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $OB, SO, BC.$ \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến $(NPO)$ và $(SCD); (SAB)$ và $(AMN)$ \item Tìm giao điểm $E$ của $SA$ và $(MNP)$ \item CMR: $ME \parallel PN$ \item Tìm giao điểm $MN$ và $(SCD)$ \item Tìm thiết diện hình chóp và $(MNP)$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABC.$ Gọi $M, N, P$ là trung điểm $AB, BC, SC.$ Cho $SB = AC.$ \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao điểm $E$ của $SA$ và $(MNP)$ \item CMR: $NP \parallel ME \parallel SB.$ Tứ giác $MNPE$ là hình gì? \item Tìm giao tuyến $(ANP)$ và $(SMC)$ \item Tìm giao điểm $SM$ và $(ANP)$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O.$ Gọi $M, N, P$ là trung điểm $SB, SD, OD.$ \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao điểm $I$ của $BC$ và $(AMN);$ tìm giao điểm $J$ của $CD$ và $(AMN)$ \item Tìm giao điểm $K$ của $SA$ và $(CMN)$ \item Tìm giao tuyến của $(NPK)$ và $(SAC)$ \item Tìm giao điểm của $SC$ và $(NPK)$ \item Tìm thiết diện hình chóp và $(AMN)$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG } \subsection{Vấn đề 1: Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng:} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[\bf{Bài} 1.] \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $AB, CD, SA.$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $MN \parallel (SBC); MN \parallel (SAD)$ \item CMR: $SB \parallel (MNP); SC \parallel (MNP)$ \item Gọi $I, J$ là trọng tâm. CMR: $IJ \parallel (SAB), IJ \parallel (SAD), IJ \parallel (SAC).$ \end{enumerate} \item Cho tứ diện $ABCD.$ Gọi $G$ là trọng tâm, $MBC$ sao cho $MB = 2MC.$ CMR: $MG \parallel (ACD)$ \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O.$ Gọi $I, J$ là trung điểm $BC, SC. KSD$ sao cho $SK = KD.$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $OJ \parallel (SAD), OJ \parallel (SAB) $ \item CMR: $IO \parallel (SCD), IJ \parallel (SBD)$ \item Gọi $M$ là giao điểm của $AI$ và $BD$. CMR: $MK \parallel (SBC)$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thoi tâm $O$. Gọi $M, N, P$ là trung điểm $SB, SO, OD$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $MN \parallel (ABCD), MO \parallel (SCD)$ \item CMR: $NP \parallel (SAD), NPOM$ là hình gì? \item Gọi $ISD$ sao cho $SD = 4ID$. CMR: $PI \parallel (SBC), PI \parallel (SAD)$ \end{enumerate} \item Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không đồng phẳng có tâm lần lượt là $I$ và $J.$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $IJ \parallel (ADF)$ và $IJ \parallel (BCE)$ \item Gọi $M, N$ là trọng tâm. CMR: $MN \parallel (CEF)$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \subsection{Vấn đề 2: Thiết diện song song với một đường thẳng cho trước:} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[\bf{Bài} 1.] \item Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $M, N$ là 2 điểm trên $AB, CD$. Mặt phẳng $(\alpha) $ qua $MN$ và song song $SA$. \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến của $(SAB)$ và $(\alpha) $; $(SAC)$ và $(\alpha)$ \item Xác định thiết diện của hình chóp và $(\alpha)$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. $M$ là trung điểm $AB$, mặt phẳng $(\alpha) $ qua $M$ và song song $BD, SA$. Xác định thiết diện hình chóp và $(\alpha) $ \item Cho tứ diện $ABCD$. $M$ là trung điểm $AD, N$ là điểm bất kỳ trên $BC$. Mặt phẳng chứa $(\alpha) $ $MN$ và $\parallel CD.$ Xác định thiết diện của tứ diện và mặt phẳng $(\alpha)$ \item Cho tứ diện $ABCD$. Điểm $M$ tùy ý trên $BC.$ Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M$ và song song với $AC, BD$. Xác định thiết diện của tứ diện và mặt phẳng $(\alpha)$. \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{HAI MẶT PHẲNG SONG SONG} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[\bf{Bài} 1.] \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N, P, Q$ là trung điểm $SA, SD, AB, ON.$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $(OMN) \parallel (SBC)$ \item CMR: $PQ \parallel (SBC)$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N, P$ là trung điểm $SA, CD, AD.$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $(OMN) \parallel (SBC)$ \item Gọi $I$ là điểm trên $MP$. CMR: $OI \parallel (SCD)$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình bình hành. Gọi $M, N, P, Q$ là trung điểm $BC, AB, SB, AD.$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $(MNP) \parallel (SAC)$ \item CMR: $PQ \parallel (SCD)$ \item Gọi $I$ là giao điểm $AM$ và $BD, JSA$ sao cho $AJ = 2JS$. CMR: $IJ \parallel (SBC)$ \item Gọi $K\in AC$. Tìm giao tuyến $(SKM)$ và $(MNC)$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. Gọi $I, J, G, P, Q$ là trung điểm $DC, AB, SB, BG, BI.$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $(IJG) \parallel (SAD)$ \item CMR: $PQ \parallel (SAD)$ \item Tìm giao tuyến của $(SAC)$ và $(IJG)$ \item Tìm giao tuyến của $(ACG)$ và $(SAD)$ \end{enumerate} \item Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không đồng phẳng. Gọi $I, J, K$ là trung điểm $AB, CD, EF.$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $(ADF) \parallel (BCE)$ \item CMR: $(DIK) \parallel (JBE)$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{HÌNH LĂNG TRỤ - HÌNH CHÓP CỤT} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[\bf{Bài} 1.] \item Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ cạnh bên $AA’$, $BB’$, $CC’$. Gọi $M, M’$ là trung điểm $BC, B’C’$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $AM \parallel A’M’$ \item Tìm giao điểm $A’M$ và $(AB’C’)$ \item Tìm giao tuyến $d$ của $(AB’CD)$ và $(BA’C’)$ \item Tìm giao điểm của $d$ với $(AMA’)$ \end{enumerate} \item Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$. Gọi $H$ là trung điểm $A’B’.$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $CB’ \parallel (AHC’)$ \item Tìm giao tuyến $d$ của $(AB’C’)$ và $(A’BC)$ \item CMR: $d \parallel (BB’C’C)$ \end{enumerate} \item Cho chóp cụt tam giác $ABC.A’B’C’$ với $ABC$ là đáy lớn. Gọi $S$ là điểm đồng quy của 3 đường thẳng $AA’, BB’, CC’$. CMR: $\dfrac{SA'}{SA}=\dfrac{SB'}{SB}=\dfrac{SC'}{SC}$ \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{BÀI TẬP TỔNG HỢP} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[\bf{Bài} 1.] \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N$ là trung điểm $SA, CD$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $(OMN) \parallel (SBC)$ \item Tìm giao điểm $I$ của $ON$ và $(SAB)$ \item Gọi $G = SI\cup BM$, $H$ là trọng tâm $\triangle SCD.$ CMR: $GH \parallel (SAD)$ \item Gọi $J$ là trung điểm $AD, E \in MJ$. CMR: $OE \parallel (SCD)$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N, P$ là trung điểm $BC, CD, SC.$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $(MNP) \parallel (SBD)$ \item Tìm giao tuyến $(SAB)$ và $(SCD)$ \item Tìm giao tuyến của $(MNP)$ và $(SAD)$. Suy ra giao điểm của $SA$ và $(MNP)$ \item Gọi $I = AP\cup SO, J = AM\cup SO.$ CMR: $IJ \parallel (MNP)$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. Gọi $I, J, K$ là trung điểm $SA, SB, BC$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $IJ \parallel (SCD), (IJK) \parallel (SCD)$ \item CMR: $(IJK) \parallel SD$ \item Tìm giao điểm $AD$ và $(IJK)$ \item Xác định thiết diện hình chóp và $(IJK)$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thang ($AB$ là đáy lớn). Gọi $M, N$ là trung điểm $BC, SB; P \in AD$ sao cho $2PD = PA.$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $MN \parallel (SCD)$ \item Tìm giao điểm $SA$ và $(MNP)$ \item Tìm giao điểm $SO$ và $(MNP)$ (với $O = AC\cup BD$) \item Gọi $G$ là trọng tâm $\triangle SAB$. CMR: $GP \parallel (SBD)$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $Q, E, F, I$ là trung điểm $BC, AD, SD, SB.$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $FO \parallel (SBC)$ \item CMR: $AI \parallel (QEF)$ \item Tìm giao điểm $J$ của $SC$ và $(QEF)$. CMR: $(IJE) \parallel (ABCD)$ \item Tìm thiết diện hình chóp và $(IJF)$. Thiết diện là hình gì? \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N$ là trung điểm $SB, SC; $ lấy điểm $P\in SA.$ \begin{enumerate}[a)] \item Tìm giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ \item Tìm giao điểm $SD$ và $(MNP)$ \item Tìm thiết diện hình chóp và $(MNP)$. Thiết diện là hình gì? \item Gọi $J\in MN$. CMR: $OJ \parallel (SAD)$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN \&\\ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[\bf{Bài} 1.] \item Cho tứ diện $ABCD$: \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $\vt{AC}+\vt{BD}=\vt{AD}+\vt{BC}$ \item $I, J$ là trung điểm $AD, BC.$ $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. CMR: \begin{enumerate} \item $\vt{AB}+\vt{DC}=2\vt{IJ}$ \item $\vt{AB}+\vt{AC}+\vt{AD}=3\vt{AG}$ \end{enumerate} \end{enumerate} \item Cho tứ diện $ABCD$ \begin{enumerate}[a)] \item Tìm $G$ sao cho: $\vt{GA}+\vt{GB}+\vt{GC}+\vt{GD}=\vt{0}$ \item CMR $\forall O$ ta có:$\vt{OA}+\vt{OB}+\vt{OC}+\vt{OD}=4\vt{OG}$ ($G$ là trọng tâm tứ diện) \end{enumerate} \item Cho 2 tứ diện $ABCD, A’B’C’D’$. CMR hai tứ diện có cùng trọng tâm khi và chỉ khi: $\vt{AA'}+\vt{BB'}+\vt{CC'}+\vt{DD'}=\vt{0}$ \item Cho tứ diện $ABCD$. $M \in AB, N \in CD$ sao cho: $\vt{MA}=-2\vt{MB},\vt{ND}=-2\vt{NC}$. Các điểm $I, J, P$ thuộc $AD, MN, BC$ mà $\vt{IA}=k\vt{ID},\vt{JM}=k\vt{JN},\vt{PB}=k\vt{PC}$. Chứng minh rằng $I, J, K$ thẳng hàng. \item Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $\vt{AB}+\vt{AD}+\vt{AA'}=\vt{AC'}$ \item CMR: $\vt{AB'}+\vt{B'C'}+\vt{D'D}=\vt{A'C}$ \end{enumerate} \item Cho lăng trụ $ABC.A’B’C’$. Đặt $\vt{AA'}=\vt{a},\vt{BB'}=\vt{b},\vt{CC'}=\vt{c}$ \begin{enumerate}[a)] \item Hãy biểu thị $\vt{B'C},\vt{BC'}$ theo $\vt{a},\vt{b},\vt{c}$ \item $G’$ là trọng tâm $A’B’C’$. Biểu thị $\vt{AG'}$ theo $\vt{a},\vt{b},\vt{c}$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $SABC$. Lấy $M \in SA, N\in BC$ sao cho: $\vt{MB}=-2\vt{MA},\vt{NB}=\dfrac{1}{2}\vt{CN}$. CMR: $\vt{AB},\vt{MN},\vt{SC}$ đồng phẳng. \item Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Gọi $K$ là giao điểm $AD’$ và $DA’$. $I$ là giao điểm $BD’ $ và $DB’$. CMR $\vt{AC},\vt{KI},\vt{B'C'}$ đồng phẳng. \item Cho tứ diện $ABCD$. Lấy $M\in AD, N \in BC$ sao cho: $\vt{AM}=3\vt{MD},\vt{NB}=-3\vt{NC}$. CMR $ \vt{AB},\vt{DC},\vt{MN}$ đồng phẳng. \item Cho lăng trụ $ABC.A’B’C’$. $I, J$ là trung điểm $BB’, A’C’. K\in B'C'$ sao cho: $\vt{KC}=-2\vt{KB'}$ . CMR $A, I, J, K$ đồng phẳng \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[\bf{Bài} 1.] \item Cho hình chóp $S.ABC$ đáy là $ABC$ vuông cân tại $B, SA\bot (ABC)$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông \item Kẻ đường cao $AD$ của $SAB$ và đường cao $AE$ của $SAC$. CMR: $ADE$ vuông và $SC\bot DE.$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông, $SA\bot (ABCD).$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $BC\bot (SAD); CD\bot (SAD)$ \item CMR: $BD\bot (SAC) $ \item Kẻ $AE\bot SB$. CMR: $SB\bot (ADE)$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông, $SA = SB = SC = SD$. \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $SO\bot (ABCD)$ \item CMR: $BD\bot (SAC) $ \item Gọi $I$ là trung điểm $AB$. CMR: $AB\bot (SOI)$ \item Kẻ đường cao $OJ$ của $SOI$. CMR: $SA\bot OJ$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh $a$. $SA\bot (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{3}$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông \item Tính góc giữa $SD$ và $(ABCD); SC$ và $(SAD) $ \item Vẽ $AH\bot SB, AK\bot SD$. CMR: $AH\bot (SBC); SC\bot (AHK)$ \item CMR: $BD\bot (SAC)$ \item Tính góc giữa $SD$ và $(SAC)$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thoi tâm $O$. Hai tam giác $SAB$ và $SAC$ vuông ở $A,$ cho $SA = a, AC = 2a\sqrt{3}$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $SA\bot (ABCD)$ \item CMR: $BD\bot SC$ \item Vẽ $AH$ là đường cao của $SAO$. CMR: $AH\bot (SBC) $ \item Tính góc giữa $AO$ và $(SBD) $. \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O, SO\bot (ABCD), SO = a\sqrt{3}$, $AB = a\sqrt{2}$. \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $BD\bot SA; AC\bot SB$ \item Vẽ $CI\bot SD, OJ \bot SC$. CMR: $SD\bot (ACI); SC\bot (BDJ)$ \item $K$ là trung điểm $SB$. CMR: $OK\bot OI$ \item Tính góc giữa $SA$ và $(ABCD)$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[\bf{Bài} 1.] \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông, $SA\bot (ABCD)$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $(SAC)\bot (SBD)$ \item Gọi $BE, DF$ là đường cao $\triangle SBD$. CMR: $(AFC)\bot (SBC); (AEF)\bot (SAC)$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh $a, SA = a, SA\bot (ABCD)$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $(SAB)\bot (SAD)$; $(SBC)\bot (SAB)$; $(SCD)\bot (SAD)$ \item CMR: $(SAC)\bot (SBD)$ \item Gọi $AI, AJ$ là đường cao $SAB, SAC$. CMR: $(SCD)\bot (AIJ)$ \item Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SBC) \& (ABCD)$, $(SBD) \& (ABCD)$ \end{enumerate} \item Cho tứ diện $ABCD, AD\bot (ABC), DE$ là đường cao của $\triangle BCD$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $(ABC)\bot (ADE)$ \item Vẽ đường cao $BF$ và đường cao $BK$ của $\triangle ABC$ và $\triangle BCD$. CMR: $(BFK)\bot (BCD)$ \item Gọi $I, J$ là trực tâm. CMR: $IJ\bot (BCD)$ \end{enumerate} \item Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $I, J$ là trung điểm $AB, CD$. Trên đường thẳng vuông góc $(ABCD)$ tại $I$ lấy $S$. \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $BC\bot (SAB), CD\bot (SIJ)$ \item CMR: $(SAD)\bot (SBC), (SAB)\bot (SIJ)$ \item Gọi $M$ là trung điểm $BC$. CMR: $(SIM)\bot (SBD)$ \item $SI = a$. Tính góc giữa $(SCD)$ và $(ABCD)$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp đều $S.ABCD$, $O$ là tâm $ABCD$. Gọi $I$ là trung điểm $AB$, cho $SA = a, AB = a.$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $(SAC)\bot (SBD)$, $(SOI)\bot (ABCD)$ \item CMR: $(SIO)\bot (SCD)$ \item Gọi $OJ$ là đường cao $SOI$. CMR: $OJ\bot SB$ \item Gọi $BK$ là đường cao $SBC$. CMR: $(SCD) \bot (BDK)$ \item Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy. \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình chữ nhật,, $(SAB)\bot (ABCD)$. Cho $AB = a, AD = a\sqrt{2}$. \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $SA\bot (ABCD), (SAD)\bot (SCD)$ \item $AH$ là đường cao CMR: $AH\bot (SBC)$, $(SBC)\bot (AHC)$ \item CMR: $DH\bot SB$ \item Tính góc giữa $(SAC)$ và $(SAD)$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh $a$ tâm $O$. Cho $(SAB)\bot(ABCD), (SAD)\bot (ABCD).$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $SA\bot (ABCD), BD\bot (SAC)$ \item Gọi $AH, AK$ là đường cao. CMR: $AH\bot BD$, $AK\bot (SCD)$ \item CMR: $(SAC)\bot (AHK)$ \item Tính góc giữa $(SAC)$ và $(SCD) $ (biết $SA = a$) \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh $a$ tâm $O$. $SA\bot (ABCD), SA = a.$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông \item CMR: $BD\bot SC$ \item Tính góc giữa $SC \& (ABCD)$; $(SBD)\& (ABCD)$ \item Tính góc giữa $(SCD) \& (ABCD)$. Tính diện tích hình chiếu của $\triangle SCD$ trên $(ABCD)$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{KHOẢNG CÁCH} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[\bf{Bài} 1.] \item Cho tứ diện $SABC$, $\triangle ABC$ vuông cân tại $B, AC = SA = 2a$ và $SA\bot (ABC)$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $(SAB)\bot (SBC)$ \item Tính $d(A, (SBC))$ \item Gọi $O$ là trung điểm $AC$. Tính $d(O, (SBC))$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh $a$ tâm $O. SA\bot (ABCD)$ và $SA = 2a; $ dựng $BK\bot SC.$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $SC\bot (DBK)$ \item Tính $d(A, (SBC))$; $d(A, (SDC)); d(O, (SBC))$ \item Tính $d(BD, SC); d(AD, BK)$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đều, $O$ là tâm hình vuông $ABCD$, cạnh bên bằng $2a$, cạnh đáy bằng $a$. Gọi $I, J$ là trung điểm $AB, CD.$ \begin{enumerate}[a)] \item CMR: $(SIJ)\bot (SAB)$ \item Tính $d(O, (SCD)); d(I, (SCD))$ \item Tính $d(SC, BD); d(AB, SD)$ \end{enumerate} \item Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thoi tâm $O$ cạnh $a$, góc $A=60^o$, đường cao $SO = a.$ \begin{enumerate}[a)] \item Tính $d(O, (SBC))$ \item Tính $d(AD, SB)$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \section{DIỆN TÍCH - HÌNH CHIẾU} \begin{multicols}{2} \begin{flushleft} \begin{enumerate}[\bf{Bài} 1.] \item Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, nằm trong mặt phẳng. Trên đường vuông góc với $(\alpha)$ tại $B,C$ vẽ $BD=a\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $CE=a\sqrt{2}$ nằm cùng phía với mặt phẳng $(\alpha)$. \begin{enumerate}[a)] \item CMR tam giác $ADE$ vuông. \item Tính diện tích tam giác $ADE$. \item Tìm góc giữa $(ADE)$ và $(\alpha)$. \end{enumerate} \item Cho tam giác $ABC$ có $ B, C$ là hình chiếu của $E, F$ lên $(\beta)$ sao cho tam giác $ABF$ là tam giác đều cạnh $a$, $CF = a, BE = \dfrac{a}{2}$. \begin{enumerate}[a)] \item Gọi $I=BC \cup EF$. CMR: $AI \bot AC$ \item Tính diện tích tam giác $ABC.$ \item Tính góc giữa $(ABC)$ và $(\beta)$. \end{enumerate} \item Cho tam giác $ABC$ cân, đáy $BC = 3a, BC\bot (\beta)$, đường cao $a\sqrt{3}$. $D$ là hình chiếu của $A$ lên $(\beta)$ sao cho tam giác $DBC$ vuông tại $D$. Tìm góc giữa $(ABC)$ và $(\beta)$. \item Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a.$ Từ các đỉnh $A, B, C$ vẽ các nửa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa $ABC$. Lấy $D, E, F$ nằm cùng phía đối với mặt phẳng chứa $ABC$ sao cho $DA = a, BE = 2a, CF = x.$ \begin{enumerate}[a)] \item Tìm $x$ để tam giác $DEF$ vuông tại $D.$ \item Với $x$ vừa tìm được ở câu trên, tìm góc giữa $(ABC)$ và $(DEF)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{flushleft} \end{multicols} \end{document}