\documentclass[12pt]{article} \usepackage[utf8]{vietnam} \usepackage{amsmath,amsxtra,amssymb,latexsym, amscd,amsthm} \usepackage{mathptmx} \usepackage{graphicx,color} \usepackage{eso-pic} \usepackage[a4paper,left=1.5cm,right=1.5cm,top=1.5cm,bottom=1.5cm]{geometry} \renewcommand{\baselinestretch}{1.2} \definecolor{lightgray}{gray}{.95} \newcommand{\vt}[1]{\overrightarrow{#1}} \newcommand{\suy}{\Rightarrow} \newcommand{\kkhi}{\Leftrightarrow} \font\abc=ugqbo8v at 17pt \begin{document} \AddToShipoutPicture{\AtTextCenter{\makebox(0,0)[c]{\resizebox{\textwidth}{!}{\rotatebox{60}{\textsf{\textbf{\color{lightgray}http://www.math.vn}}}}}}} \begin{center}{\abc TỔNG HỢP 60 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỦA MATH.VN }\end{center} {\bf Bài 1.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases} x^3-y^3=35 & (1) \\2x^2+3y^2=4x-9y & (2) \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Lấy phương trình $(1)$ trừ 3 lần phương trình $(2)$ theo vế ta được: $(x-2)^3=(3+y)^3 \Rightarrow x = y +5\quad (3)$\\ Thế $(3)$ vào phương trình $ (2)$ của hệ ta được: $y^2+5y+6 =0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}y=-2\Rightarrow x = 3\\ y=-3 \Rightarrow x = 2\end{array}\right.$\\ Đáp số: $(3; - 2), (2; - 3)$ là nghiệm của hệ. {\bf Bài 2.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases} x^3+y^3=9 &(1) \\x^2+2y^2=x+4y &(2) \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Lấy phương trình $(1)$ trừ 3 lần phương trình $(2)$ theo vế ta được: $(x-1)^3=(2-y)^3 \Rightarrow x = 3-y\quad (3)$\\ Thế $(3)$ vào phương trình $ (2)$ của hệ ta được: $y^2-3y+2 =0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}y=1\Rightarrow x = 2\\ y=2 \Rightarrow x = 1\end{array}\right.$\\ Đáp số: $(2; 1), (1; 2)$ là nghiệm của hệ. {\bf Bài 3.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases} x^3+y^3=91 &(1) \\4x^2+3y^2=16x+9y&(2) \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Lấy phương trình $(1)$ trừ 3 lần phương trình $(2)$ theo vế ta được: $(x-4)^3=(3-y)^3 \Rightarrow x = 7-y\quad (3)$\\ Thế $(3)$ vào phương trình $ (2)$ của hệ ta được: $y^2-7y+12 =0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}y=4\Rightarrow x = 3\\ y=3 \Rightarrow x = 4\end{array}\right.$\\ Đáp số: $(3; 4), (4; 3)$ là nghiệm của hệ. {\bf Bài 4.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\dfrac{1}{5} & (1) \\ 4x^2+3x-\dfrac{57}{25}=-y\left( 3x+1 \right) & (2) \\ \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Lấy phương trình $(1)$ nhân với 25 cộng theo với với phương trình $(2)$ nhân với 50 rồi nhóm lại ta được:\\ \centerline{$25(3x+y)^2+50(3x+y)-119=0 \Leftrightarrow 3x + y = \dfrac{7}{5}; 3x+y = -\dfrac{17}{5}$.}\\ Trường hợp 1: $\begin{cases} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\dfrac{1}{5} \\ y=\dfrac{7}{5}-3x \\ \end{cases}$\quad Thế ta được: $x=\dfrac{2}{5}\Rightarrow y=\dfrac{1}{5}; x = \dfrac{11}{25}\Rightarrow y = \dfrac{2}{25}$\\ Trường hợp 2: $\begin{cases} {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\dfrac{1}{5} \\ y=-\dfrac{17}{5}-3x \\ \end{cases}$ vô nghiệm.\\ Vậy $\left(\dfrac{2}{5};\dfrac{1}{5}\right); \left(\dfrac{11}{25};\dfrac{2}{25}\right)$ là nghiệm của hệ. {\bf Bài 5.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\left\{\begin{aligned} &x^3+3xy^2=-49 & (1) \\ &x^2-8xy+y^2=8y-17x & (2) \end{aligned} \right.$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Lấy phương trình $(1)$ cộng với phương trình $(2)$ nhân với 3 được:\\ $x^3+3 x^2+(3y^2-24 y+51)x+3 y^2-24 y+49=0 \Leftrightarrow (x+1)\left((x+1)^2+3(y-4)^2\right)=0\Leftrightarrow \left [ \begin{aligned}& x = - 1& \\ & x = -1,& y = 4 \end{aligned} \right.$\\ Lần lượt thế vào phương trình $(1)$ của hệ ta được $(-1;4),(-1;-4)$ là nghiệm của hệ. {\bf Bài 6.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\left\{\begin{aligned} & 6{x^2}y + 2{y^3} + 35 = 0&(1)\\ &5{x^2} + 5{y^2} + 2xy + 5x + 13y = 0 &(2)\end{aligned} \right..$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Lấy phương trình $(1)$ cộng với 3 lần phương trình $(2)$ theo vế ta được:\\ \centerline{$(6y+15)x^2+3(2y+5)x+2y^3+15 y^2+39 y+35=0$}\\ \centerline{$ \Leftrightarrow (2y+5)\left(3\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{5}{2}\right)^2\right)=0 \Leftrightarrow \left [ \begin{aligned}& y = -\dfrac{5}{2}& \\ & x = -\dfrac{1}{2},& y=-\dfrac{5}{2} \end{aligned} \right. $.}\\ Lần lượt thế vào phương trình $(1)$ ta được: $\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{5}{2}\right);\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{5}{2}\right)$ là nghiệm của hệ. {\bf Bài 7.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases}x^2+y^2=xy+x+y\\x^2-y^2=3\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Chú ý rằng: $x^2-xy+y^2=\dfrac{1}{4}\left(3(x-y)^2+(x+y)^2\right)$\\ nên ta đặt $\begin{cases}a=x+y\\b=x-y\end{cases}$ thì được hệ mới: $\begin{cases}3a^2+b^2=4b&(1)\\ab=3&(2)\end{cases}$.\\ Đem thế $a=\dfrac{3}{b}$ từ phương trình $(2)$ vào phương trình $(1)$ rồi giải tìm được $b=3 \Rightarrow a = 1$\\ Từ đó tìm lại được: $x=2;y=1$ là nghiệm của hệ. {\bf Bài 7.1}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases}\sqrt{x^2+2x+6}=y+1\\x^2+xy+y^2=7\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ ĐK: $y\geq-1$\quad Hệ đã cho tương đương với:\\ \centerline{$\begin{cases}x^2+2x+6=y^2+2y+1\\\dfrac{1}{4}\left(3(x+y)^2+(x-y)^2\right)=7 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases}(x-y)(x+y+2)=-5\\3(x+y)^2+(x-y)^2=28\end{cases}\; (**)$}\\ Đặt $\begin{cases}a=x+y\\b=x-y\end{cases}$ khi đó $(**)$ trở thành $\begin{cases}b(a+2)=-5\\3a^2+b^2=28\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=-1\\b=-5\end{cases}\text{ hay } \begin{cases}a=3\\b=-1\end{cases}$\\ Giải hệ trên ta thu được nghiệm: $\begin{cases}x=-3\\y=2\end{cases}\text{ hay } \begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$\\ Kết luận: Hệ phương trình đã cho có tập hợp nghiệm là: $\{(-3;2),(1;2)\}$ {\bf Bài 8.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}+2{{y}^{2}}=xy+2y \\ & 2{{x}^{3}}+3x{{y}^{2}}=2{{y}^{2}}+3{{x}^{2}}y \\ \end{aligned} \right..$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Với $y=0\Rightarrow x=0$ là nghiệm của hệ.\\ Với $y\ne 0$, nhân phương trình 1 với $-y$ rồi cộng theo vế với phương trình 2 ta được:\\\centerline{ $2x^3-4x^2y+4xy^2-2y^3=0\Leftrightarrow x=y$}\\ Thế lại vào phương trình 1 của hệ ta được: $2y^2=2y\Leftrightarrow y = 1 \Rightarrow x=1$\\ Vậy $(1;1),(0;0)$ là nghiệm của hệ {\bf Bài 9.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases}{x\sqrt x-y\sqrt =y=8\sqrt x+2\sqrt y}\\{x-3y=6} \end{cases}\quad (*)$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Đk: $\begin{cases}{x> 0}\\{y> 0} \end{cases}$.\quad Lúc đó hpt $(*) \Leftrightarrow \begin{cases}{3\left (x\sqrt x-y\sqrt y \right )=6\left ( 4\sqrt x+\sqrt y \right )}&(1)\\{x-3y=6}&(2) \end{cases}$\\ Thay $(2)$ vào $(1)$ có:$3\left ( x\sqrt x-y\sqrt y \right )= \left ( x-3y \right )\left ( 4\sqrt x+\sqrt y \right )$ $\Leftrightarrow \sqrt x\left ( x+\sqrt{xy}-12y\sqrt x \right )=0$\\ $\Leftrightarrow \sqrt x\left ( \sqrt x-3\sqrt y\right )\left ( \sqrt x+4\sqrt y \right )=0\Leftrightarrow \sqrt x=3\sqrt y\Leftrightarrow x=9y$. Thay vào $(2)$ có $y=1\Rightarrow x=9$.\\ Vậy hpt có 1 nghiệm $ \begin{cases}{x=9}\\ {y=1}\end {cases}$ {\bf Bài 10.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases}{\sqrt{\dfrac{2x}{y}}+\sqrt{\dfrac{2y}{x}}=3}\\{x-y+xy=3}\end {cases}\quad (*)$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Đk $x.y>0$ .\quad Lúc đó hpt $(*) \Leftrightarrow \begin{cases}{\dfrac{2x}{y}+\dfrac{2y}{x}=3}\\{x-y+xy=3 }\end {cases}\Leftrightarrow \begin{cases}{2x^2+2y^2-5xy=0}\\{x-y+xy=3 }\end {cases}$\\ \centerline{$\Leftrightarrow \begin{cases}{\left ( x-2y \right )\left ( 2x-y \right )=0}\\{x-y+xy=3 }\end {cases} \Leftrightarrow \begin{cases}{x=2y}\\{2y^2+y-3=0} \end{cases}\text{ hay } \begin{cases}{y=2x}\\{2x^2-x-3=0}\end {cases}$. }\\ Lúc đó kết hợp với đk ta được hpt có nghiệm $\left ( x;y \right )$ là $\left ( 2;1 \right );\left ( -3;-\dfrac{3}{2} \right ) ;\left ( -1;-2 \right );\left ( \dfrac{3}{2};3 \right )$ {\bf Bài 11.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases} x^4-y^4=240 \\ x^3-2y^3=3(x^2-4y^2)-4(x-8y)\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Lấy phương trình 1 trừ đi phương trình 2 nhân với 8 ta được: $(x-2)^2=(y-4)^4 \Leftrightarrow x=y-2;x=6-y$\\ Lần lượt thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta được\\ Trường hợp 1:$\begin{cases} x^4-y^4=240 \\ x=y-2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=-4 \\ y=-2\end{cases} $\\ Trường hợp 2: $\begin{cases} x^4-y^4=240 \\ x=6-y\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=4 \\ y=2\end{cases}$\\ Vậy $(4;2),(-4;-2)$ là nghiệm của hệ. {\bf Bài 12.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases}{\sqrt 2\left ( x-y \right )=\sqrt{xy}}\\{x^2-y^2=3} \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Đk: $x\geq y$. \quad Lúc đó $\sqrt2\left ( x-y \right )=\sqrt{xy}\Leftrightarrow 2x^2-5xy+2y^2=0\Leftrightarrow (x-2y)(2x-y)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{aligned}{x=2y}\\{y=2x} \end{aligned}\right.$\\ Khi $x=2y\Rightarrow y=\pm 1\Rightarrow\begin{cases}{x=2}\\{y=1} \end{cases}\text{ hay }\begin{cases}{x=-2}\\{y=-1} \end{cases}$\\ Khi $y=2x\Rightarrow -3x^2=3$ (pt vô nghiệm)\\ Vậy đối chiếu với đk hpt có một nghiệm là $\left ( 2;1 \right )$ {\bf Bài 13.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases}(x-1)^2+6(x-1)y+4y^2=20\\x^2+(2y+1)^2=2\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ hệ phương trình $\Leftrightarrow \begin{cases}x^2-2x+1+6xy-6y+4y^2=20\\x^2+4y^2=1-4y\end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases}y= \dfrac{x+9}{3x-5}\quad (1) \\x^2+4y^2=1-4y\end{cases}$ \\ thế $(1)$ vào hệ $(2)$ ta được $x^2+\left (\dfrac{2x+18}{3x-5} +1 \right )^2=2$ $ \Leftrightarrow \dfrac{-9}{55}.\left ( x-\dfrac{8}{3} \right )^2=1\text{ hay } x=-1$\\ suy ra $x=-1 \Rightarrow y=-1$ {\bf Bài 14.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases}{x^2+2xy+2y^2+3x=0}&(1)\\{xy+y^2+3y+1=0}&(2)\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Lấy (1)+2.(2) ta được :$\left ( x+2y \right )^2+3\left ( x+2y \right )+2=0$$\Leftrightarrow \left ( x+2y+1 \right )\left ( x+2y+2 \right )=0$\\ TH1: $x+2y+1 = 0\Rightarrow x=-2y-1$ thay vào $(2)$ ta được\\ \centerline{$y^2-2y-1=0\Rightarrow \left [ \begin{matrix}{y=1+\sqrt2}&\Rightarrow x=-3-2\sqrt2\\{y=1-\sqrt2} &\Rightarrow x=-3+2\sqrt2\end{matrix}\right.$}\\ TH2: $ x+2y+2=0\Rightarrow x=-2y-2$ thay vào (2) ta được\\ \centerline{$y^2-y-1=0\Rightarrow \left[ \begin{matrix}{y=\dfrac{1-\sqrt5}{2}}&\Rightarrow x=-3+\sqrt5\\{y=\dfrac{1+\sqrt5}{2}}&\Rightarrow x=-3-\sqrt5\end{matrix}\right.$}\\ Do đó hpt đã cho có 4 nghiệm\\ \centerline{$\left ( x;y \right )$ là :\\ $\left ( -3-2\sqrt2;1+\sqrt2 \right );\left ( -3+2\sqrt2;1-\sqrt2 \right );\left ( -3+\sqrt5;\dfrac{1-\sqrt5}{2} \right );\left ( -3-\sqrt5;\dfrac{1+\sqrt5}{2} \right )$} {\bf Bài 15.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases}x^3-y^3=3x+1\\x^2+3y^2=3x+1\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ hệ phương trình $\Leftrightarrow\begin{cases}t=x^3-3x-1\\3t+(x^2-3x-1)y=0\end{cases}$ với $t=y^3$.\\ ta có $D=x^2-3x-1$,\quad $D_t=(x^3-3x-1)(x^2-3x-1)$,\quad $D_y=-3(x^3-3x-1)$\\ nhận thấy nếu $D=0$ mà $D_y \neq 0$ suy ra pt VN \\ Xét $D \neq 0 $ ta có $\dfrac{D_t}{D}=\left (\dfrac{D_y}{D} \right )^3$ hay $(x^2-3x-1)^3=-27(x^3-3x-1) $ \\ $ \Rightarrow x=2\text{ hay } 28x^5+47x^4-44x^3-151x^2-83x-13=0$ $ \Rightarrow x=2\text{ hay } x\approx -1,53209$\\ từ đây suy ra được $y$ {\bf Bài 16.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases}{\left ( 2x^2+y \right )\left ( x+y \right )+x\left ( 2x+1 \right )=7-2y}\\{x\left ( 4x+1 \right )=7-3y}\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ {\bf Cách 1: }Thế $7=4x^2+x+3y$ ở phương trình $(2)$ vào phương trình $(1)$ ta được:\\ $(2x^2+y)(x+y)=2x^2+y \Rightarrow y=-2x^2$ hoặc $y=1-x$\\ Trường hợp 1: $\begin{cases}y=-2x^2\\{x\left ( 4x+1 \right )=7-3y}\end{cases}$ vô nghiệm.\\ Trường hợp 2: $\begin{cases}y=1-x\\{x\left ( 4x+1 \right )=7-3y}\end{cases}\Leftrightarrow $ $\begin{cases}x=\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}\\y=\dfrac{3-\sqrt{17}}{4}\end{cases}$ hoặc $\begin{cases}x=\dfrac{1-\sqrt{17}}{4}\\y=\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}\end{cases}$\\ Đáp số: $\left(\dfrac{1-\sqrt{17}}{4};\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}\right);\left(\dfrac{1+\sqrt{17}}{4};\dfrac{3-\sqrt{17}}{4}\right)$ là nghiệm của hệ.\\ {\bf Cách 2: }Phân tích $(1)$ ta có $2x^3+2x^2y+xy+y^2+2x^2+x=7-2y$\\ \centerline{$\begin{aligned}\Leftrightarrow 2x^3+2x^2(y+1)+x(y+1)+(y+1)^2=8 &\Leftrightarrow 2x^2(x+y+1)+(y+1)(x+y+1)=8\\ \Leftrightarrow (x+y+1)(2x^2+y+1)=8 &\Leftrightarrow (x+y+1)(4x^2+2y+2)=16\end{aligned}$}\\ ta có $\begin{cases} (x+y+1)(4x^2+2y+2)=16 \\4x^2=7-x-3y\end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} \left ( x+y+1 \right ) \left [ 9-(x+y) \right ]=16 \\4x^2=7-x-3y\end{cases}$ suy ra $ x+y=1\text{ hay } x+y=7$ \\ Với $x+y=1$ ta tìm đc $x=\dfrac{1}{4}\left ( 1\pm \sqrt{17} \right )\text{ hay } y=1-x$ \\ Với $x+y=7$ thay vào $(2)$ phương trình VN \\ KL {\bf Bài 16.1}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases}x^3+7y=(x+y)^2+x^2y+7x+4&(1)\\ 3x^2+y^2+8y+4=8x&(2)\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Từ pt thứ $(2)$ trong hệ ta rút $ 4=8x-3x^2-y^2-8y$\\ Thay vào pt thứ $(1)$ trong hệ thu gọn ta được $\left ( x-y \right )\left ( x^2+2x-15 \right )=0\Leftrightarrow \left [\begin{array}{l}{x=y}\\{x=3}\\{x=-5} \end{array}\right.$\\ Với $x=y$ thay vào pt thứ 2 ta được $-4x^2=4$ pt vô nghiệm\\ Với $x=3$ thay vào pt thứ 2 ta được $y^2+8y+7=0$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}{y=-1}\\{y=-7} \end{array}\right.$\\ Với $x=-5$ thay vào pt thư 2 ta được $y^2+8y+119=0$ pt vô nghiệm\\ Vậy hệ pt có 2 nghiệm $(x;y)$ là $(3;-1);(3;-7)$ {\bf Bài 17.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases}{x^3-12z^2+48z-64=0}\\{y^3-12x^2+48x-64=0}\\{z^3-12y^2+48y-64=0} \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Cộng theo vế các phương trình của hệ ta được: $(x-4)^3+(y-4)^3+(z-4)^3=0\quad (*)$ \\từ đó suy ra trong 3 số hạng ở tổng này phải có ít nhất 1 số hạng không âm,\\ không mất tổng quát ta giả sử $(z-4)^3\ge0 \Rightarrow z\ge4$\\ Thế thì phương trình thứ nhất của hệ tương đương $x^3-16=12(z-2)^2 \ge 12.2^2\Rightarrow x\ge4$\\ Thế thì phương trình thứ hai của hệ tương đương $y^3-16=12(x-2)^2 \ge 12.2^2\Rightarrow y\ge4$\\ Do vậy từ $(x-4)^3+(y-4)^3+(z-4)^3=0\quad (*)\Rightarrow x=y=z=4$ Thử lại thỏa mãn.\\ Vậy $(4;4;4)$ là nghiệm của hệ. {\bf Bài 18.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases}x^4+4x^2+y^2-4y=2\\x^2y+2x^2+6y=23\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ hệ đã cho tương đương $\begin{cases}t-4y=2-x^4-4x^2\\(x^2+6)y=23-2x^2\end{cases}$ \\ với $t=y^2 $ ta tính được $D=x^2+6 $,\quad $D_t=-x^6-10x^4-30x^2+104$,\quad $D_y=23-2x^2 $. \\ ta có $\dfrac{D_t}{D}=\left ( \dfrac{D_y}{D} \right )^2 $ suy ra $(x^2+6)(-x^6-10x^4-30x^2+104)=(23-2x^2)^2$\\ $\Leftrightarrow (1-x)(1+x)(1+x^2)(x^4+16x^2+95)=0$ vậy suy ra $x=1\text { hay } x=-1$ , từ đây tìm được $y$ {\bf Bài 19.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases}x^2+xy+y^2=3\\x^2+2xy-7x-5y+9=0\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ {\bf Cách 1: } Cộng theo vế 2 phương trình của hệ ta được $(2x+y-3)(x+y-2)=0$ Từ đó dẫn đến 2 trường hợp:\\ Trường hợp 1: $\begin{cases}x^2+xy+y^2=3\\y=3-2x\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=1\\y=1\end{cases} $ hoặc $\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}$\\ Trường hợp 2: $\begin{cases}x^2+xy+y^2=3\\y=2-x\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=1\\y=1\end{cases} $ \\ Kết luận: $(1;1),(2;-1)$ là nghiệm của hệ.\\ {\bf Cách 1: } đặt $\begin{cases}x=a+1\\y=b+1\end{cases}$ hệ trở thành $\begin{cases}a^2+b^2+3a+3b+ab=0&(1)\\a^2-3a-3b+2ab=0&(2)\end{cases}$ \\ cộng $(1)$ và $(2)$ ta đc $2a^2+b^2+3ab=0$ $\Leftrightarrow (2a+b)(a+b)=0$ suy $x$ và $y$ {\bf Bài 20.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases}{3\left ( x^2+y^2 \right )+\dfrac{1}{(x-y)^2}=2(10-xy)}\\{2x+\dfrac{1}{x-y}=5} \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Hệ $\Leftrightarrow \begin{cases} 2(x+y)^2+(x-y)^2+\dfrac{1}{(x-y)^2}=20 \\ x+y+x-y+\dfrac{1}{x-y}=5 \end{cases} $ Đặt $\begin{cases} u=x+y \\ v=x-y+\dfrac{1}{x-y} \end{cases} $\\ Ta có hệ sau: $\begin{cases}{2u^2+v^2-2=20}\\{u+v=5} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases}{v=5-u}\\{2u^2+(5-u)^2=22} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases}{u=3}\\{v=2} \end{cases} $ hoặc $\begin{cases}{u=\dfrac{1}{3}}\\{v=\dfrac{14}{3}} \end{cases}$\\ TH 1: $\begin{cases}{u=3}\\{v=2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}{x+y=3}\\{x-y+\dfrac{1}{x-y}=2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}{x+y=3}\\{x-y=2}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}{x=2}\\{y=1} \end{cases}$\\ TH 2: $\begin{cases}u=\dfrac{1}{3} \\ v=\dfrac{14}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x+y=\dfrac{1}{3} \\ x-y+\dfrac{1}{x-y}=\dfrac{14}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x+y=3 \\ x-y=\dfrac{7+2\sqrt{10}}{3}\end{cases} $ hoặc $\begin{cases} x+y=3 \\x-y=\dfrac{7-2\sqrt{10}}{3}\end{cases}$\\ $\Leftrightarrow \begin{cases} x=\dfrac{4+\sqrt{10}}{3} \\ y=\dfrac{-3-\sqrt{10}}{3}\end{cases}$ hoặc $\begin{cases}x=\dfrac{4-\sqrt{10}}{3} \\ y=\dfrac{-3+\sqrt{10}}{3} \end{cases}$ {\bf Bài 21.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $ \begin{cases}a(a+b)= 3 \\ b(b+c)=30 \\ c(c+a) = 12 \end{cases} $ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ {\bf Bài 22.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases}x^3+y^3-xy^2=1\\4x^4+y^4-4x-y=0\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Với $x=0 \Rightarrow y=1$\\ Với $y=0 \Rightarrow x=1$\\ Với $x \neq 0 ; y \neq 0$ thay $(1)$ vào $(2)$ ta được: \\ $4x^4+y^4=(4x+y)(x^3+y^3-xy^2) \Leftrightarrow 3y^2-4xy+x^2=0 \Leftrightarrow 3\left(\dfrac{y}{x}\right)^2-4\left(\dfrac{y}{x}\right)+1=0 \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}{\dfrac{y}{x}=1}\\{\dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{3}}\end{array}\right.$\\ Với $x=y$ thay vào $(1)$ ta có $x=1 \Rightarrow y=1$\\ Với $x=3y$ thay vào $(1)$ ta có $x=\dfrac{3}{\sqrt[3]{25}} \Rightarrow y=\dfrac{1}{\sqrt[3]{25}}$\\ Vậy hpt có 4 nghiệm phân biệt $(x;y)$ là $(0;1) ;(1;0) ;(1;1) ;\left(\dfrac{3}{\sqrt[3]{25}};\dfrac{1}{\sqrt[3]{25}}\right)$ {\bf Bài 23.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases}x^2-y^2=3&(1)\\ \log_3(x+y)-\log_5(x-y)=1&(2)\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ ĐK: $\begin{cases}{x+y>0}\\{x-y>0}\end{cases}$\\ Từ pt $(1)$ có $\log_3(x^2-y^2)=1 \Leftrightarrow \log_3(x+y)+\log_3(x-y)=1 \Leftrightarrow \log_3(x+y)=1-\log_3(x-y)\quad (*)$\\ Thay $(*)$ vào pt $(2)$ có\\ $1-\log_3(x-y)-\log_5{3}.\log_3(x-y)=1 \Leftrightarrow \log_3(x-y)(1-\log_3{5})=0 \Leftrightarrow \log_3(x-y)=0 \Leftrightarrow x-y=1$\\ Lúc đó ta có hpt mới $\begin{cases}{x^2-y^2=3}\\{x-y=1}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}{x+y=3}\\{x-y=1}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}{x=2}\\{y=1}\end{cases} $\\ Vậy hpt có 1 nghiệm duy nhất $\begin{cases}{x=2}\\{y=1}\end{cases} $ {\bf Bài 24.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases}{\log_4(x^2+y^2)-\log_4(2x)+1=\log_4(x+3y)}\\{\log_4(xy+1)-\log_4(2y^2+y-x+2)=\log_4 \left(\dfrac{x}{y} \right)-\dfrac{1}{2}}\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ hệ phương trình $\Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{(x^2+y^2)2}{x} =x+3y& (1) \\ \dfrac{xy+1}{2y^2+y-x+2}=\dfrac{x}{2y}&(2) \end{cases} $\\ $ (1)\Leftrightarrow x^2-3xy+2y^2 =0 $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} x=y&(3) \\ x=2y& (4)\end{array}\right.$\\ $(2),(3) \Leftrightarrow x,y\in \mathbb{R} >0 $\\ $(2),(4) \Leftrightarrow x=2,y=1 $ {\bf Bài 25.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases}{x^2(y+1)=6y-2}(1)\\{x^4y^2+2x^2y^2+y(x^2+1)=12y^2-1}(2)\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Dễ thấy $ y \neq 0 $ và $ y \neq -1 $. Từ $ (1) \Rightarrow x^2y(y+1)=6y^2-2y $, và $ x^2-2 = \dfrac{4y-4}{y+1} ; x^2+3 =\dfrac{9y+1}{y+1} $\\ Thay (1) vào (2), ta có: $ x^4y^2+x^2y^2 + y +6y^2-2y =12y^2-1 $ $ \Leftrightarrow (x^2-2)(x^2+3)y^2 -y+1 =0 $\\ $ \Leftrightarrow \dfrac{ 4(y-1)(9y+1)y^2}{ (y+1)^2} = y-1 $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} y=1 \\ 4(9y+1)y^2=(y+1)^2 \end{matrix}\right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} y=1 \Rightarrow x=\pm \sqrt{2}\\ y= \dfrac{1}{3}\Rightarrow x=0 \end{matrix}\right.$ {\bf Bài 26.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin {cases}{x^3-y^3+3y^2-3x=2 (1)} \\ {x^2+\sqrt{1-x^2}-3\sqrt{2y-y^2}=-2 (2)} \end {cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ {\bf Cách 1: } Đk: $\begin {cases}{1-x^2 \ge 0} \\ {2y-y^2 \ge 0} \end {cases} \Rightarrow \begin {cases}{-1 \le x \le 1} \\ {0 \le y \le 2} \end {cases}$\\ Đặt $t=x+1,0 \le t \le 2$.Lúc đó hpt đã cho trở thành: \\\centerline{$\begin {cases}{ t^3-3t^2+2=y^3-3y^2+2} \\ {x^2+\sqrt{1-x^2}-3\sqrt{2y-y^2}=-2} \end {cases} \Rightarrow \begin {cases}{t^3-3t^2=y^3-3y^2} \\ {x^2+\sqrt{1-x^2}-3\sqrt{2y-y^2}=-2} \end {cases}$}\\ Xét hàm số $f(a)=a^3-3a^2,0 \le a \le 2$. Có $f'(a)=3a^2-6a$;\quad $f'(a)=0 \Leftrightarrow 3a^2-6a=0 \Leftrightarrow \left [\begin{matrix}{a=0}\\{a=2}\end{matrix}\right. $\\ Lập BBT ta có $f(a)=a^3-3a^2$ nghịch biến với $0 \le a \le 2$ Vậy $f(t)=f(y) \Rightarrow t=y \Rightarrow x+1=y $ \\ Thay $ x+1=y $ vào pt (2) có $ x^2-2\sqrt{1-x^2}=-2 \Leftrightarrow 1-x^2 +2\sqrt{1-x^2}-3=0$\\ $ \Leftrightarrow (\sqrt{1-x^2}-1)(\sqrt{1-x^2}+3)=0 \Leftrightarrow \left [\begin{matrix}{\sqrt{1-x^2}=1}\\{\sqrt{1-x^2}=-3}\end{matrix}\right. \Rightarrow x=0 \Rightarrow y=1 $\\ Vậy hpt có 1 nghiệm $(x;y)$ duy nhất là$(0;1)$\\ {\bf Cách 2: } Sự xuất hiện của 2 căn thức ở pt $(2)$ mách bảo ta đặt $z=1-y$ khi đó hệ trở thành\\\centerline{ $\begin {cases}{x^3-3x+z^3-3z=0} \\ {x^2+\sqrt{1-x^2}-3\sqrt{1-z^2}=-2} \end {cases}$}\\ Phương trình $(1)$ của hệ này tương đương $x+z=0$ hoặc $x^2+xz+z^2=3$\\ Thế thì xảy ra 2 trường hợp:\\ Trường hợp 1: $\begin {cases}{z=-x} \\ {x^2+\sqrt{1-x^2}-3\sqrt{1-z^2}=-2} \end {cases}\Leftrightarrow$$\begin {cases}x=0 \\ z=0\end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases}x=0 \\ y=1\end {cases}$\\ Trường hợp 2:$\begin {cases}{x^2+xz+z^2=3} \\ {x^2+\sqrt{1-x^2}-3\sqrt{1-z^2}=-2} \end {cases}$\\ Phương trình đầu của hệ này kết hợp với điều kiện của $x$ và $z$ dẫn đến $x=z=-1;x=z=1$,\\ cả 2 khả năng này đều không thỏa mãn phương trình thứ 2, nên trường hợp này vô nghiệm.\\ Kết luận: $(0;1)$ là nghiệm của hệ. {\bf Bài 27.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin {cases}x^2-y^2-y=0 \\ {x^2+xy+x=1} \end {cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ {\bf Bài 28.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin {cases}9y^3(3x^3-1)=-125\\45x^2y+75x=6y^2 \end {cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Với $y=0$ hệ pt vô nghiệm. Với $y \neq 0$ chia 2 vế pt $(1)$ và pt $(2)$ lần lượt cho $y^3 \neq 0; y^2 \neq 0$ ta có hpt $\begin {cases}{27x^3+ \dfrac{125}{y^3}=9 } \\ {45 \dfrac{x^2}{y}+75 \dfrac{x}{y^2}=6} \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases}{27x^3+ \dfrac{125}{y^3}=9 } \\ {3x. \dfrac{5}{y}(3x+ \dfrac{5}{y})=6} \end {cases} (*) $\\ Đặt $u=3x; v= \dfrac{5}{y} ,v \neq 0$\\ Lúc đó: $(*) \Leftrightarrow \begin {cases} u^3+v^3=9 \\ uv(u+v)=6n \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} (u+v)^3-3uv(u+v)=9 \\ uv(u+v)=6 \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} (u+v)^3=27 \\ uv(u+v)=6 \end {cases}$\\ $ \Leftrightarrow \begin {cases} u+v=3 \\ uv=2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u=1\\ v=2\end {cases}\qquad \text{ hay } \begin{cases} u=2\\ v=1 \end {cases} $\\ Với $\begin{cases}{u=1}\\{v=2}\end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases}{3x=1}\\{ \dfrac{5}{y}=2}\end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases}{x= }\dfrac{1}{3}\\{ y= \dfrac{5}{2}}\end {cases} $ \\ Với $\begin{cases}{u=2}\\{v=1}\end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases}{3x=2}\\{ \dfrac{5}{y}=1}\end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases}{x= \dfrac{2}{3}}\\{ y= 5}\end {cases} $\\ Vậy hpt đã cho có 2 nghiệm $(x;y)$ là $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{2}\right); \left(\dfrac{2}{3};5\right)$ {\bf Bài 29.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt[4]{32-x}-y^{2}+3=0 &(1) \\ \sqrt[4]{x}+\sqrt{32-x}+6y -24=0 &(2) \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Đk:$\begin{cases}{0 \leq x \leq 32}\\{y \leq 4}\end{cases}$. Lấy $(1) +(2)$ vế theo vế ta có $\sqrt x+\sqrt {32-x}+\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{32-x}=y^2-6y+21\quad (*)$\\ Có $y^2+6y+21=(y-3)^2+12 \ge 12$\\ Lại có $\sqrt x+\sqrt {32-x} \leq \sqrt{(1+1)(x+32-x)}=8$ $\Leftrightarrow \sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{32-x} \leq \sqrt{(1+1)(\sqrt x+\sqrt {32-x})}=4 $\\ Vậy $\sqrt x+\sqrt {32-x}+\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{32-x} \leq 12$\\ Do $(*)$ nên có hpt $\begin{cases} \sqrt{x} = \sqrt{32-x}\\ \sqrt[4]{x} = \sqrt[4]{32-x}\\ y-3=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}{x=16}\\{y=3}\end{cases}$\\ Vậy hệ pt có một nghiệm duy nhất $(x;y)$ là $(16;3)$ {\bf Bài 30.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases}\sqrt{x+y+1}+1=4(x+y)^2+\sqrt{3x+3y}&(1)\\ 12x(2x^2+3y+7xy)=-1-12y^2(3+5x)&(2) \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Đặt $\sqrt{x+y+1}=a\geq 0;\sqrt{3x+3y}=b\geq 0 $ \\ $(1) \Leftrightarrow \begin{cases} 3a^{2}-b^{2}=3 \\ 9a+9=4b^{4}+9 \end{cases}$ $ \Leftrightarrow \begin{cases} 3a^{2}-b^{2}=3 \\ 9a+\left (3a^{2}-b^{2} \right )^{2}=4b^{4}+9b \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} 3a^{2}-b^{2}=3 \\ 9a-9b+9a^{4}-6a^{2}b^{2}-3b^{4}=0 \end{cases}$ \\ \centerline{$\Leftrightarrow \begin{cases} 3a^{2}-b^{2}=3 \\ \left ( a-b \right )\left (9a^{3}+9a^{2}b+3ab^{2}+3b^{3}=0 \right ) \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} 3a^{2}-b^{2}=3 \\ a=b \end{cases}$} \\ \centerline{$\Leftrightarrow b=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\Leftrightarrow 2x+2y=1. \Leftrightarrow 2x=1-2y$} \\ Thay vào $(2)$ ta được : $\left ( x,y \right )=\left ( \dfrac{-5}{6};\dfrac{4}{3} \right ),\left ( \dfrac{7}{10};\dfrac{-1}{6} \right )$ {\bf Bài 31.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases} x^{3}y\left ( 1+y \right )+x^{2}y^{2}\left ( y+2 \right )+xy^{3}=30 \\ x^{2}y+x\left ( 1+y+y^{2} \right )+y-11=0 \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ {\bf Bài 32.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad Giải hệ $\begin{cases}{x(1+x)+\dfrac{1}{y}\left ( \dfrac{1}{y}+1 \right )=4}&(1)\\{x^3y^3+y^2x^2+xy+1=4y^3}&(2) \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ $ (2) \Leftrightarrow \left( x+ \dfrac{1}{y} \right)\left( x^2 + \dfrac{1}{y^2} \right) =4 $ Từ $ (1),(2) \Rightarrow x+ \dfrac{1}{y} $ và $ x^2+ \dfrac{1}{y^2} $ là nghiệm của pt \\ $ A^2 -4A + 4 =0 $ $ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+\dfrac{1}{y}=2 \\ x^2+ \dfrac{1}{y^2} =2 \end{matrix}\right.$ $ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+ \dfrac{1}{y}=2 \\ \dfrac{x}{y}=1 \end{matrix}\right. $ $ \Leftrightarrow x=y=1 $ {\bf Bài 33.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases}{2+6y+\sqrt{x-2y}=\dfrac{x}{y}}\\{\sqrt{x+\sqrt{x-2y}}=x+3y-2} \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ {\bf Bài 34.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases}\left ( 1-\dfrac{12}{y+3x} \right )\sqrt{x}=2&(1)\\ \left ( 1+\dfrac{12}{y+3x} \right )\sqrt{y}=6&(2) \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ {\bf Cách 1:} Đk: $x>0;y>0$\\ Từ đó lấy $(1)+(2)$; $(2)-(1)$ ta được hpt $\begin{cases}\dfrac{2}{\sqrt{x}}+\dfrac{6}{\sqrt{y}}=2 \\ \dfrac{24}{y+3x}=\dfrac{6}{\sqrt{y}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}} \end{cases}$\\ $\Rightarrow \dfrac{12}{y+3x} =\dfrac{9}{y} -\dfrac{1}{x} $ $\Rightarrow 12xy=(y+3x)(9-y)$\\ $\Rightarrow y^2+6xy-27x^2=0$ $\Rightarrow (y+9x)(y-3x)=0$ $\Rightarrow y=3x $ do $x>0,y>0$\\ Thay $y=3x$ vào pt $(1)$ ta được: $x-2\sqrt x-2=0\Rightarrow \sqrt x=1+\sqrt3\Rightarrow x=4+2\sqrt3\Rightarrow y=3(4+2\sqrt3)$\\ Vậy hpt có 1 nghiệm $(x;y)$ là $(4+2\sqrt 3 ;3(4+2\sqrt 3))$\\ {\bf Cách 2:}Đk: $x>0;y>0$ Nhân pt (1) với $\sqrt{3}$ và nhân pt (2) với hệ số ảo $i$ rồi cộng 2 vế ta được:\\ $\sqrt{3x} + \sqrt{y}i-\dfrac{12}{y+3x}(\sqrt{3x}-\sqrt{y}i)=2\sqrt{3}+6i$\\ Đặt $z=\sqrt{3x}+\sqrt{y}i$ thì $z-\dfrac{12}{z}=2\sqrt{3}+6i$ $\Leftrightarrow z^{2}-(2\sqrt{3} + 6i)z-12=0$\\ $\Leftrightarrow z=3+\sqrt{3}+(3+\sqrt{3}i)$ (thỏa mãn) hoặc $z=(\sqrt{3}-3)+(3-\sqrt{3}i)$(loại vì $\sqrt{3x}<0)$\\ Với $z=3+\sqrt{3}+(3+\sqrt{3}i$ $\Leftrightarrow \begin{cases} & \text{ } \sqrt{3x}= 3+\sqrt{3}\\ & \text{ } \sqrt{y}= 3+\sqrt{3} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} & \text{ } x= 4+2\sqrt{3}\\ & \text{ } y= 12+6\sqrt{3} \end{cases}$ {\bf Bài 35.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases} 2y\left ( x^{2}-y^{2} \right )=3x \\ x\left ( x^{2}+y^{2} \right )=10y \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Nhân chéo ta có: \\ $3x^{2}\left ( x^{2}+y^{2} \right )=20y^{2}\left ( x^{2}-y^{2} \right )$ $\Leftrightarrow 3x^{4}-17x^{2}y^{2}+20y^{4}=0$ $\Leftrightarrow 3x^{2}=5y^{2}$ or $x^{2}=4y^{2}$ \\ Thay vào ta có các nghiệm (x;y)= $\left ( 0;0 \right ),\left ( \pm \sqrt[4]{\dfrac{3}{5}};\pm \sqrt[4]{\dfrac{27}{125}} \right );\left ( \pm 1;\pm 2 \right )$ {\bf Bài 36.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin {cases}2\sqrt{x+3y+2}-3\sqrt{y}=\sqrt{x+2}&(1) \\\sqrt{y-1}-\sqrt{4-x}+8-x^2=0 &(2)\end {cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ $ (1) \Leftrightarrow 2\sqrt{x+3y+2} = \sqrt{x+2} + 3\sqrt{y} $ $ \Leftrightarrow 4(x+3y+2) = x+2 + 9y + 6\sqrt{y(x+2)} $\\ $ \Leftrightarrow (\sqrt{x+2} -\sqrt{y})^2 =0 $ $ \Leftrightarrow y= x+2 $ \\ Thay vào (2), ta có: $ \sqrt{x+1} -\sqrt{4-x} + 8-x^2 =0 $ $ \Leftrightarrow \dfrac{x-3}{\sqrt{x+1}+2} + \dfrac{ x-3}{\sqrt{4-x}+1} +(3-x)(3+x) =0 $\\ $ \Leftrightarrow x= 3 \Rightarrow y=5 $\\ Ta cần cm pt $ \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2} + \dfrac{1}{1+\sqrt{4-x}} = x+3 (*)$ vô nghiệm trên đoạn $ [-1,4] $\\ Ta có: $ \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2} \leq \dfrac{1}{2}$ $ \dfrac{1}{\sqrt{4-x}+1} \leq 1 $ $\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2} + \dfrac{1}{1+\sqrt{4-x}} < \dfrac{3}{2} $ mà $ x+3 \geq 2 $ $ \Rightarrow (*) $ vô nghiệm {\bf Bài 37.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $ \begin {cases}(x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2})=1&(1)\\ x \sqrt{6x-2xy+1}=4xy+6x+1&(2) \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ {\bf Cách 1:}Xét $f(t)=t+\sqrt {t^2+1}$,\quad $f'(t)=1+\dfrac {t}{\sqrt {t^2+1}} = \dfrac {\sqrt {t^2+1}+t}{\sqrt {t^2+1}} > \dfrac {|t|-t}{\sqrt {t^2+1}} \ge 0$\\ Do đó $f(t)$ đồng biến trên R\\ $(1) \Leftrightarrow x+\sqrt {x^2+1} = -y+\sqrt {1+y^2} \Leftrightarrow f(x)=f(-y) \Leftrightarrow x=-y$\\ $(2) \Leftrightarrow x\sqrt{6x+2x^2+1}=-4x^2+6x+1 \Leftrightarrow (\sqrt{2x^2+6x+1}-\dfrac {x}{2})^2 = \dfrac {25}{4}x^2$ $\Leftrightarrow \left [\begin {matrix}{\sqrt{2x^2+6x+1} = 3x} \\{\sqrt{2x^2+6x+1} = -2x} \end {matrix}\right.$\\ Với $\sqrt{2x^2+6x+1} = 3x \Leftrightarrow \begin {cases}{2x^2+6x+1 =9x^2} \\ {x \ge 0} \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases}{7x^2-6x-1=0} \\ {x \ge 0} \end {cases} \Leftrightarrow x=1 \to y=-1$\\ Với $\sqrt{2x^2+6x+1}=-2x\Leftrightarrow \begin {cases}{2x^2+6x+1=4x^2} \\ {x \le 0} \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases}{2x^2-6x-1=0} \\ {x \le 0} \end {cases} \Leftrightarrow x=\dfrac {3-\sqrt {11}}{2} \to y=\dfrac {-3+\sqrt {11}}{2}$ \\ {\bf Cách 2:}Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ thành: $ {x+\sqrt{1+x^2}=-y+\sqrt{1+y^2}}\qquad (1)$\\ Rõ ràng $(1)$ khiến ta nghĩ đến hàm số $ f(t) = t+\sqrt{t^2+1}$, hàm này đồng biến trên R\\ nên $(1)$ tương đương $ x=-y$ thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được:\\ $x \sqrt{6x+2x^2+1}=-4x^2+6x+1\qquad (2)$ Có một cách hay để giải $(2)$ bằng ẩn phụ, nhưng để đơn giản, ta lũy thừa 2 vế ta tìm được nghiệm $ x=1; x = \dfrac{3-\sqrt{11}}{2}$\\ Kết luận: $ (1; - 1); (\dfrac{3-\sqrt{11}}{2}; -\dfrac{3-\sqrt{11}}{2})$ là nghiệm của hệ. {\bf Bài 38.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases}2x^3-4x^2+3x-1=2x^3(2-y)\sqrt{3-2y}\\ \sqrt{x+2}=\sqrt[3]{14-x\sqrt{3-2y}}+1 \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ $2{x^3} - 4{x^2} + 3x - 1 = 2{x^3}(2 - y)\sqrt {3 - 2y} \Leftrightarrow {\left( {1 - \dfrac{1}{x}} \right)^3} + \left( {1 - \dfrac{1}{x}} \right) = \sqrt {{{\left( {3 - 2y} \right)}^3}} + \sqrt {3 - 2y}$ \\ $\Leftrightarrow \sqrt {3 - 2y} = \left( {1 - \dfrac{1}{x}} \right)$ (Do hàm số $f\left( t \right) = {t^3} + t$ đồng biến trên $R$) \\ Thay vào phương trình thứ hai ta được: $\left( {\sqrt {x + 2} - 3} \right) - \left( {\sqrt[3]{{15 - x}} - 2} \right) = 0$ \\ $\Leftrightarrow \dfrac{{x - 7}}{{\sqrt {x + 2} + 3}} + \dfrac{{x - 7}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {15 - x} \right)}^2}}} + 2\sqrt[3]{{15 - x}} + 4}} = 0 \Leftrightarrow x = 7 \Rightarrow y = \dfrac{{111}}{{98}}$ {\bf Bài 39.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases}x^2+2xy-2x-y=0\\x^4-4(x+y-1)x^2+y^2+2xy=0 \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Từ pt $(2)$ ta có $x^4-4x^3-4yx^2+4x^2+y^2+2xy=0$\\ $\Leftrightarrow (x^4-4x^3+4x^2)-4(x^2-2x)y+4y^2-3y^2-6xy=0 \Leftrightarrow (x^2-2x-2y)^2=3y^2+6xy$\\ Lúc đó hpt đã cho trở thành: $ \begin {cases} {x^2+2xy-2x-y=0}\\{(x^2-2x-2y)^2=3y^2+6xy} \end {cases} \Rightarrow \begin {cases} {y=x^2+2xy-2x}&(3) \\ {y^2(1+2x)^2=3y(y+2x)}&(4) \end{cases}$\\ Từ $(4)$ có $2y(2xy+2x^2-3x-y)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}{y=0}\\{2xy+2x^2-3x-y=0} \end{array}\right.$\\ + Với y= 0 từ (3) có $x^2-2x =0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}{x=0}\\{x=2} \end{array}\right.$\\ +Với $2xy+2x^2-3x-y=0 \Rightarrow y=2xy+2x^2y-3x$ thay vào (3) có $x(2xy-x-1)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x=0\Rightarrow y=0}\\{y=\dfrac{x+1}{2x}}(x\neq 0)\end{array}\right.$\\ Thay $y=\dfrac{x+1}{2x}(x\neq 0)$ vào pt $(3)$ ta có $(x-1)(2x^2+1)=0 \Leftrightarrow x=1 \Rightarrow y=1$ \\ Vậy hpt đã cho có 3 nghiệm $(x;y)$ là $(0;0), (2;0), (1;1)$ {\bf Bài 40.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: \quad $\begin{cases} x^2+y^2+2y=4\\ (x^2+xy)(y+1)+x=6 \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ {\bf Bài 41.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Tìm $m$ để hệ có nghiệm duy nhất:\quad $\begin{cases}3y-m\sqrt{x^2+1}=1\\ x+y+\dfrac{1}{1+\sqrt{x^2+1}}=m^2\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Hệ pt đã cho trở thành $\begin{cases}{y+\sqrt{x^2+1}=m^2}\\{3y-m \sqrt{x^2+1}=1} \end{cases}\quad (I)$\\ * Điều kiện cần:\\ giả sử hpt có nghiệm $(x_0;y_0)$ thì $(-x_0;y_0)$ cũng là nghiệm của hệ\\ nên hpt có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow x_0= - x_0 \Rightarrow x_0 = 0$\\ Lúc đó hệ $(I)\Leftrightarrow \begin{cases}{y=m^2-1}\\ {3y=1+m}\end{cases}\Rightarrow 3m^2-m-4=0 \Leftrightarrow m=-1\vee m=\dfrac{4}{3}$\\ *Điều kiện đủ:\\ + Với m= -1 ta có $(I)\Leftrightarrow \begin{cases}{y+\sqrt{x^2+1}=1}\\ {3y+ \sqrt{x^2+1}=1}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}{x=0}\\{y=0} \end{cases} $ Vậy m= -1 (nhận)\\ + Với $m= \dfrac{4}{3}$ ta có $(I)\Leftrightarrow \begin{cases}{y+\sqrt{x^2+1}= \dfrac{16}{9}}\\ {3y- \dfrac{4}{3} \sqrt{x^2+1}=1}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}{x=0}\\ { y= \dfrac{7}{9}}\end{cases}$ Vậy $m= \dfrac{4}{3}$ (nhận)\\ Do đó $m= -1;m= \dfrac{4}{3}$ là các giá trị cần tìm. {\bf Bài 42.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^2 y^2-2 x+y-1 = 0\\ 2 x^2+y^2-4 x-5 = 0\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ {\bf Bài 43.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ: $\begin{cases} xy+x-7y=-1 & (1) \\ x^2y^2+xy-13y^2=-1 & (2) \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Từ pt $(1)\Rightarrow xy+1=7y-x$ thế xuống pt $(2)$\\ pt $(2)\Leftrightarrow (xy+1)^2-xy-13y^2=0\Leftrightarrow (7y-x)^2-xy-13y^2=0 \Leftrightarrow x^2-15xy+36y^2=0$ \\ $\Leftrightarrow (x-3y)(x-12y)=0 \Rightarrow x=3y $ Hoặc $ x=12y$\\ Tới đó là ra rồi :D {\bf Bài 44.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ: $\begin{cases} (2011x+3)\left(\ln(x-2)-\ln2011x\right)=(2011y+3)\left(\ln(y-2)-\ln2011y\right)&(1) \\ 2y^6+55y^2+58\sqrt{x-2}=2011 &(2)\end{cases} (x;y\in \mathbb{Z})$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Điều kiện: $x,y>2$, khi đó từ $(1)$, ta xét hàm số: $f(t)=(2011t+3)(\ln(t-2)-\ln2011t)\quad t>2$,\\ dễ thấy $f(t)$ đơn điệu trên tập xác định của nó nên :$f(x)=f(y)\Leftrightarrow x=y$,\\ Thay vào $(2)$, ta được phương trình:\\ $2x^6+55x^2+58\sqrt{x-2}=2011\Leftrightarrow 2x^6+55x^2-1953 +58\left(\sqrt{x-2}-1\right)=0$\\ $\Leftrightarrow (x-3)(x+3)(x^4+18x^2+217)+58\dfrac{x-3}{\sqrt{x-2}+1}=0$\\ $\Leftrightarrow (x-3)\left((x+3)(2x^4+18x^2+217)+\dfrac{58}{\sqrt{x-2}+1}\right)=0$\\ $\Leftrightarrow x=3$, vì: $(x+3)(2x^4+18x^2+217)+\dfrac{58}{\sqrt{x-2}+1}>0 \quad x>2$\\ Kết luận: Hệ phương trình đã cho có nghiêm là:$(3;3)$ {\bf Bài 45.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ: $\begin{cases} 8x^{6}-\dfrac{1}{2}xy=y-3x^{4}&(1) \\ x^{3}-4x^{2}y=y &(2) \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Từ phương trình thứ nhất rút ra: $y = \dfrac{8x^6+3x^2}{x+2}$\\ Từ phương trình thứ hai rút ra: $y = \dfrac{x^3}{4x^2+1}$\\ Từ đó dẫn đến: $ \dfrac{8x^6+3x^2}{x+2}=\dfrac{x^3}{4x^2+1} \Rightarrow x^3(64x^6+16x^4+23x^2-2x+6)=0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow y = 0.$\\ Đáp số: (0; 0) {\bf Bài 46.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ: $ \begin{cases} x^2 + xy + 2x + 2y - 16 = 0& (1)\\ (x + y)(4 + xy) = 32& (2) \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Hệ pt đã cho $\begin {cases}{(x+y)(x+2)=16} &(1')\\ {(x+y)(4+xy)=32}& (2') \end {cases}$\\ * Với $x=y$ từ pt$(1)$ có $x^2+2x-8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} x=2 &\text{ hpt đã cho thỏa }\\ x=-4 & \text{ hpt đã cho không thỏa }\end{array}\right.$\\ * Với $x=-y$ hpt không thỏa.\\ * Với $x\neq -y$ lấy $\dfrac{(1')}{(2')}\Rightarrow \dfrac{x+2}{4+xy}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x(2-y)=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{ll}x=0&\Rightarrow y=8\\ y=2&\Rightarrow x= 2 \text{ hay } x= -6\end{array}\right.$\\ Vậy hpt có 3 nghiệm phân biệt $(x;y)$ là $(2;2), (0;8), (-6;2)$ {\bf Bài 47.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ: $\begin{cases}{xy=x+7y+1}\\{x^2y^2=10y^2-1}\end {cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Từ phương trình thứ nhất của hệ rút x theo y ta được: $x=\dfrac{7y+1}{y-1}$\\ Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được: $\left(\dfrac{7y+1}{y-1}\right)^2.y^2=10y^2-1$\\$ \Rightarrow 39y^4+34y^3-8y^2-2y+1=0 \Rightarrow\left[ \begin{array}{l} y=-1 \Rightarrow x = 3\\ y= -\dfrac{1}{3} \Rightarrow x = 1\end{array} \right.$\\ Đáp số: $(3; -1), \left(1;-\dfrac{1}{3}\right) $ là nghiệm của hệ. {\bf Bài 48.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ: $\begin{cases}{x^3(3y+55)=64}\\{xy(y^2+3y+3)=12+51x}\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Dễ thấy $x=0$ không thỏa mãn hệ. Viết lại hệ dưới dạng: $\left\{ \begin{array}{l} 3y + 55 = {t^3}\\ {y^3} + 3{y^2} + 3y = 3t + 51 \end{array} \right.$\\ với $t={\dfrac{4}{x}}$ Cộng vế với vế của hệ ta được: \\ ${\left( {y + 1} \right)^3} + 3\left( {y + 1} \right) + 51 = {t^3} + 3t + 51 \Leftrightarrow y +1= t $ ( do $ f\left( t \right) = {t^3} + 3t + 51$ đồng biến trên $R$) \\ từ đó có: ${t^3} - 3\left( {y - 1} \right) - 55 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 4} \right)\left( {{t^2} + 4t + 13} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 4$ \\ Vậy hệ có nghiệm $ \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 3 \end{array} \right. $ {\bf Bài 49.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình:$\begin{cases} \log _{3}(2x+1)-\log _{3}(x-y)=\sqrt{4x^{2}+4x+2}-\sqrt{(x-y)^{2}+1}-3x^{2}+y^{2}-4x-2xy-1 \\ \log _{3}(2x)+4x^{2}-\sqrt{4x^{2}+1}= 1-\sqrt{2} \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Viết phương trình thứ nhất của hệ thành:\\ $\sqrt{(2x+1)^2+1}-(2x+1)^2-\log_3(2x+1)=\sqrt{(x-y)^2+1}-(x-y)^2-\log_3(x-y)\quad (*)$\\ Xét hàm số: $f(t) = \sqrt{(t)^2+1}-(t)^2-\log_3(t)$ với $t>0$\\ Có: $f ' (t)=\dfrac{t}{\sqrt{(t)^2+1}}-(2t+\dfrac{1}{t})\le \dfrac{1}{\sqrt{2}}-2\sqrt{2}\le 0$ nên f nghịch biến Thế thì $(*)\Leftrightarrow 2x+1=x-y \quad (1)$\\ Với phương trình thứ hai, xét hàm: $f(x) = \log _{3}(2x)+4x^{2}-\sqrt{4x^{2}+1}$ với $x >0$\\ Có: $f ' (x) = 4x(2-\dfrac{1}{\sqrt{4x^2+1}})+\dfrac{1}{x}>0$ nên f đồng biến \\ Thế mà $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 1-\sqrt{2}$ nên $x=\dfrac{1}{2}$ thỏa mãn phương trình thứ hai.\\ Kết hợp với $(1)$ cho ta $y=-\dfrac{3}{2}$ Vậy $\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2}\right)$ là nghiệm của hệ. {\bf Bài 50.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ: $\begin{cases} \dfrac{x^{4}}{y^{4}}+\dfrac{y^{4}}{x^{4}}-(\dfrac{x^{2}}{y^{2}}+\dfrac{y^{2}}{x^{2}})+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=-2 &(1)\\ x^{2}+y^{6}-8x+6=0 &(2) \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ ĐK: $x\neq 0;y\neq 0$\\ Với pt$(1)$: Đặt $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} =t \Rightarrow t^2=\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+2\Rightarrow \dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}=t^2-2 $\\ Mặt khác :$\left ( \dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2} \right )^2=(t^2-2)^2\Rightarrow \dfrac{x^4}{y^4}+\dfrac{y^4}{x^4}+2= t^4-4t^2+4 $\\ Từ đó:$ \dfrac{x^4}{y^4}+\dfrac{y^4}{x^4}=t^4-4t^2+2 $\\ Theo AM\_GM có $\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\geq 2\Leftrightarrow t^2\geq 4\Leftrightarrow \left | t \right |\geq 2$\\ Ta có vế trái của pt (1) $g(t)=t^4-5t^2+t+4,\left | t \right |\geq 2$ Có $g'(t)=2t(2t^2-5)+1$\\ Nhận xét:\\ + $t\geq 2\Rightarrow 2t(2t^2-5)\geq 4(8-5)> 0\Rightarrow g'(t)>0$\\ + $t\leq -2\Rightarrow 2t\leq -4;2t^2-5\geq 3\Rightarrow -2t(2t^2-5)\geq 12\Rightarrow 2t(2t^2-5)\leq -12\Rightarrow g'(t) < 0$\\ Lập BBT có giá trị nhỏ nhất của g(t) =-2 đạt được tại $t=-2$\\ Vậy từ pt(1) có $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=-2 \quad (*)$\\ Đặt $u=\dfrac{x}{y}\Rightarrow \dfrac{y}{x}=\dfrac{1}{u},u\neq 0$\\ Lúc đó pt $(*) \Leftrightarrow u+\dfrac{1}{u}=-2\Leftrightarrow (u+1)^2=0\Leftrightarrow u=-1\Leftrightarrow x=-y$\\ Thay $ x=-y$ vào pt(2) có :$x^6+x^2-8x+6=0\Leftrightarrow (x-1)^2(x^4+2x^3+3x^2+4x+6)=0$\\ $\Leftrightarrow (x-1)^2\left [ x^2(x+1)^2+2(x+1)^2+4 \right ]=0\Leftrightarrow x-1=0\Rightarrow x=1\Rightarrow y=-1$\\ Vậy hpt có duy nhất 1 nghiệm $(x;y) $ là $(1;-1) $ {\bf Bài 51.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: $\begin{cases} (2x^{2}-1)(2y^{2}-1)=\dfrac{7}{2}xy \\ x^{2}+y^{2}+xy-7x-6y+14= 0 \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Dễ thấy $xy=0$ không thỏa mãn hệ.\\ Với: $xy \ne 0$ viết lại hệ dưới dạng: $\left\{ \begin{array}{l} \left( {2x - \dfrac{1}{x}} \right)\left( {2y - \dfrac{1}{y}} \right) = \dfrac{7}{2}\\ {x^2} + {y^2} + xy - 7x - 6y + 14 = 0 \end{array} \right.$ \\ ĐK để phương trình ${x^2} + {y^2} + xy - 7x - 6y + 14 = 0$ ( ẩn $x$) có nghiệm là:\\ ${\Delta _1} = {\left( {y - 7} \right)^2} - 4{y^2} + 24y - 56 \ge 0 \Leftrightarrow y \in \left[ {1;\dfrac{7}{3}} \right]$ \\ ĐK để phương trình ${x^2} + {y^2} + xy - 7x - 6y + 14 = 0$ ( ẩn $y$) có nghiệm là:\\ ${\Delta _2} = {\left( {x - 6} \right)^2} - 4{x^2} + 28x - 56 \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {2;\dfrac{{10}}{3}} \right]$ \\ Xét hàm số $f\left( t \right) = 2t - \dfrac{1}{t}$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ \\ Nên: $ \Rightarrow f\left( x \right).f\left( y \right) \ge f\left( 2 \right).f\left( 1 \right) = \dfrac{7}{2}$ \\ Kết hợp với phương trình thứ nhất ta được $\left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 1 \end{array} \right.$ là nghiệm của hệ {\bf Bài 52.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x^{4}+2y^{3}-x=-\dfrac{1}{4}+3\sqrt{3}&(1)\\ y^{4}+2x^{3}-y=-\dfrac{1}{4}-3\sqrt{3}&(2)\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Lấy (1)+(2), ta có: $ x^4+ 2x^3-x+ y^4+2y^3-y = \dfrac{-1}{2} $\\ $ \Leftrightarrow ( x^2+x)^2 - (x^2+x) + \dfrac{1}{4} + (y^2+y)^2- (y^2+y) + \dfrac{1}{4} = 0 $\\ $ \Leftrightarrow ( x^2+x- \dfrac{1}{2} )^2 + ( y^2 +y -\dfrac{1}{2} )^2 =0 $\\ $ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= \dfrac{-1-\sqrt{3}}{2} \\ y= \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right. $ {\bf Bài 53.}\hfill Đề thi thử lần 2 chuyên Lê Quý Đôn\_ Bình Đinh \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ phương trình: $\begin{cases} \log_2 (3x+1) -\log_4 y =3&(1) \\ 2^{\sqrt{x^2-4y}}+3^{\log_9 4}=10 & (2) \end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Đk: \quad $ {x>-\dfrac{1}{3}},\; {y>0},\; {x^2-4y\geq 0}$\\ Từ pt$(1)$ có: $\log_2(3x+1)=3+\log_2 {\sqrt y}\Leftrightarrow 3x+1=4\sqrt{4 y}\quad (*)$\\ Từ pt$(2)$ có: $2^{\sqrt{x^2-4y}}+2=10\Leftrightarrow 2^{\sqrt{x^2-4y}}=8\Leftrightarrow \sqrt{x^2-4y}=3\Leftrightarrow 4y=x^2-9 \quad(**)$\\ Thay $(**)$ vào $(*)$ ta được: $3\sqrt{x^2-9}=16(x^2-9)\Leftrightarrow 7x^2-6x-145=0\Leftrightarrow x=5\vee x=-\dfrac{19}{7}\quad\text{(loại)}$\\ Với $x=5 \Rightarrow y=4$.\quad Vậy hệ pt có 1 nghiệm $(x;y)$ là $(5;4)$ {\bf Bài 54.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ: $\begin{cases}\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{y}{x}=2\dfrac{\sqrt{x}}{y}+2(1)\\y(\sqrt{x^2+1}-1)=\sqrt{3(x^2+1)}(2)\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ $ (1) \Leftrightarrow \dfrac{ y+ \sqrt{x}}{x} =\dfrac{2(y+\sqrt{x})}{y} $ $ \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \sqrt{x} = -y (*) \\ y=2x (**) \end{matrix}\right. $\\ Với $(*)$, ta dễ thấy $ y < 0 $ , tức là VT của $(2) < 0 $, trong khi VP lại lớn hơn $0$ nên loại!\\ Với $(**)$, ta có: $ 2x( \sqrt{x^2+1} -1) =\sqrt{3(x^2+1)} $ $ \Leftrightarrow 4x^4 -8x^2\sqrt{x^2+1} -3(x^2+1)= 0 $ ( ĐK: $ x > 0 $ )\\ $ \Leftrightarrow 4( x^2 - \sqrt{x^2+1})^2 = \dfrac{7}{4} (x^2+1) $ $ \Leftrightarrow \left [ \begin{aligned} x^2- \sqrt{x^2+1} = \dfrac{\sqrt{7}}{2} \sqrt{x^2+1} &( i) \\ x^2- \sqrt{x^2+1} = \dfrac{-\sqrt{7}}{2} \sqrt{x^2+1}& (ii)\end{aligned}\right. $\\ Dễ thấy $(ii)$ vô nghiệm bởi vì $ \dfrac{-\sqrt{7}}{2} + 1 < 0 $ Còn $(i) \Leftrightarrow x^4 - ( \dfrac{11}{4} + \sqrt{7} ) x^2 -( \dfrac{11}{4} + \sqrt{7} ) =0 $ \\ Đặt $ \alpha = \dfrac{11}{4} + \sqrt{7} $ \\ $ \Leftrightarrow x = \sqrt{\dfrac{- \alpha + \sqrt{ (\alpha)^2 + 4\alpha}}{2}}$ {\bf Bài 55.}\quad \\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ: $\begin{cases}2\sqrt{2x+3y}+\sqrt{5-x-y}=7\\3\sqrt{5-x-y}-\sqrt{2x+y-3}=1\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ {\bf Bài 56.}\hfill Bài hệ hay!\\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ: $\begin{cases}6x^2+y^2-5xy-7x+3y+2=0&(1) \\ \dfrac{x-y}{3}=\ln(x+2)-ln(y+2)&(2)\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Đk: $x>-2;y>-2$\\ Từ pt $(1)$ có :$y^2+(3-5x)y+6x^2-7x+2=0 \Leftrightarrow (y-3x+2)(y-2x+1)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{aligned}{y=3x-2}\\{y=2x-1}\end{aligned}\right.$\\ Từ pt $(2)$ có $x-3\ln(x+2)=y-3\ln(y+2)$\\ Xét hàm số $y=f(t)=t-3ln(t+2),t>-2$ Có $f'(t)= \dfrac{t-1}{t+2}$\\ Từ đó $f'(t)=0 \Leftrightarrow t-1=0 \Leftrightarrow t=1 $\\ Lập BBT ta nhận có nhận xét hàm số $y=f(t)$ nghịch biến trên $(-2;1)$ và đồng biến trên $(1;+\infty )$\\ Từ đó ta đi đến các nhận xét sau:\\ + Với $x=1\Rightarrow y=1$ kiểm tra ta thấy $x;y$ thỏa hệ\\ + Với $x,y \in (-2;+ \infty ),(x \neq 1)\Rightarrow f(y)>f(x)$\\ Thật vậy: vì $y=3x-2 \vee y=2x-1 \Rightarrow y-x=2(x-1)\vee y-x=x-1$\\ Nhận thấy \\ + $x>1 \Rightarrow y>x\Rightarrow f(y)>f(x)$ do hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$ \\ +$x<1 \Rightarrow yf(x)$ do hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;1)$ \\ Do đó hệ pt đã cho có 1 nghiệm $(x;y)$ duy nhất là $(1;1)$. {\bf Bài 57.}\hfill Trích đề học sinh giỏi Thừa Thiên Huế 2008 - 2009 khối chuyên.\\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ: $\begin{cases}2^x+4^y=32\\xy=8\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Ta có $x;y$ phải là số dương. Vì nếu $x;y$ âm thì $2^{x}+4^{y}< 2< 32$\\ Khi đó ta có: $2^{x}+4^{y}\geq 2\sqrt{2^{x+2y}}\geq 2\sqrt{2^{2\sqrt{2xy}}}=32$\\ Dấu $=$ xảy ra khi $x=2y$. Khi đó $x=4$ và $y=2$ {\bf Bài 58.}\hfill Trích đề học sinh giỏi Hà Tĩnh 2008 - 2009\\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ: $\begin{cases}\dfrac{x^4-16}{8x}=\dfrac{y^4-1}{y}\\x^2-2xy+y^2=8\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Điều kiện $x\neq 0, y\neq 0$\\ Phương trình thứ nhất của hệ có dạng $f\left(\dfrac{x}{2}\right)=f\left(y\right)\quad (1)$\\ Với $f\left(t\right)=\dfrac{t^4-1}{t}, t \neq 0$. Ta có $f'\left(t\right)=3t^2+\dfrac{1}{t^2} > 0$\\ Suy ra hàm số f đồng biến trên các khoảng $\left ( -\infty ;0 \right ),\left ( 0;+\infty \right )$\\ $\star$ Trên $\left ( -\infty ;0 \right )$\\ $(1) \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = y$, thay vào phương trình thứ hai của hệ thu được: $y^2=8 \Leftrightarrow y=-2\sqrt{2}\Rightarrow x =-4\sqrt{2} $\\ $\star$ Trên $\left ( 0;+\infty \right )$\\ $(1) \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = y$, thay vào phương trình thứ hai của hệ thu được: $y^2=8 \Leftrightarrow y=2\sqrt{2}\Rightarrow x =4\sqrt{2} $\\ Vậy hệ có các nghiệm $\left(x; y\right)$ là $\left(2\sqrt{2}; 4\sqrt{2}\right), \left(-2\sqrt{2}; -4\sqrt{2}\right)$ {\bf Bài 59.}\hfill Trích đề học sinh giỏi Cần Thơ 2008 - 2009 vòng 1\\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ: $\begin{cases}y^2-xy+1=0\\x^2+y^2+2x+2y+1=0\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Thay $y^{2}+1=xy$ vào phương trình dưới ta được: $x^{2}+xy+2(x+y)=0$ $\Leftrightarrow (x+2)(x+y)=0$\\ Nếu $x=-2$ thì $y=-1$\\ Nếu $x=-y$ thì $y=\dfrac{\pm 1}{\sqrt{2}}$ {\bf Bài 60.}\hfill Trích đề học sinh giỏi Quảng Bình 2008 - 2009 vòng 2\\ \begin{tabular}{|p{0.97\textwidth}|}\hline\begin{minipage}{0.96\textwidth} Giải hệ: $\begin{cases}\sqrt{x^2+2x+22}-\sqrt{y}=y^2+2y+1\\\sqrt{y^2+2y+22}-\sqrt{x}=x^2+2x+1\end{cases}$ \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \fbox{\bf Giải}\\ Điều kiện $x\geq 0,y\geq 0$, $x = 0$ hoặc $y = 0$ đều không thỏa hệ nên$ x > 0, y > 0$.\\ Trừ hai phương trình của hệ theo vế ta được\\ $\sqrt{x^2+2x+22}+\sqrt{x}+x^2+2x+1=\sqrt{y^2+2y+22}+\sqrt{y}+y^2+2y+1$\\ Phương trình này có dạng $f\left ( x \right )=f\left ( y \right )$ với $f\left ( t\right )=\sqrt{t^2+2t+22}+\sqrt{t}+t^2+2t+1$\\ Ta có $f'\left ( t \right )=\dfrac{t+1}{\sqrt{t^2+2t+22}}+\dfrac{1}{2\sqrt{t}}+2t+2> 0$\\ Suy ra $f$ là hàm đồng biến $\Rightarrow f\left ( x \right )=f\left ( y \right )\Leftrightarrow x=y$\\ Thay vào PT thứ nhất ta có $x^2+2x+1-\sqrt{x^2+2x+22}+\sqrt{x}=0$\\ Phương trình này có dạng $g\left ( x \right )=g\left ( 1 \right )$ với $g\left ( x \right )=x^2+2x+1-\sqrt{x^2+2x+22}+\sqrt{x}=0$,\\ $g'\left ( x \right )=2x+2+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+22}}>2-\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+22}}>0$\\ (Vì $\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+22}}\leq \dfrac{\left | x+1 \right |}{\sqrt{x^2+2x+22}}=\dfrac{\sqrt{x^2+2x+1}}{\sqrt{x^2+2x+22}}< 1$) $\Rightarrow $ g là hàm đồng biến nên $g\left ( x \right )=g\left ( 1 \right )\Leftrightarrow x=1$\\ Vậy phương trình có nghiệm là $\left(x;y\right)=\left(1;1\right)$ \end{document}