Tấn Phú » Tấn Thịnh

Đề bài. Trong mặt phẳng với hệ trục \(Oxy\) cho tam giác \(ABC\) có đỉnh \(A(2; 1)\), đường cao qua đỉnh \(B\) có phương trình là \(x-3y–7= 0\) và đường trung tuyến qua đỉnh \(C\) có phương trình \(x+y+1=0\). Xác định toạ độ các đỉnh \(B\) và \(C\) của tam giác \(ABC\).

Giải. (Vẽ hình ra giấy để theo dõi)
Vì điểm \(B\) thuộc đường thẳng \(d_1: x-3y-7=0\) nên ta gọi \(B(3a+7;a)\). (theo dõi cách gọi toạ độ điểm ở phần chú ý cuối bài)
Điểm \(C\) thuộc đường thẳng \(d_2:x+y+1=0\) nên ta gọi \(C(b;-b-1)\).
Khi đó toạ độ trung điểm của \(AB\) là \(M\left(\dfrac{3a+9}{2};\dfrac{a+1}{2}\right)\).
Vì \(d_2\) là đường trung tuyến kẻ từ \(C\) nên \(M\) thuộc \(d_2\), ta có:
\(\dfrac{3a+9}{2}+\dfrac{a+1}{2}+1=0\)
\(\leftrightarrow a=-3\).
Từ đó suy ra toạ độ \(B(-2;-3)\).

Vì \(d_1\) là đường cao vẽ từ \(B\) của tam giác \(ABC\) nên \(d_1\) vuông góc với \(AC\), suy ra vectơ chỉ phương của \(d_1\) vuông góc với \(\overrightarrow{AC}=(b-2;-b-2)\).
\(d_1\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(1;-3)\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(3;1)\).
Ta có \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AC}=0\)
\(\Leftrightarrow 3(b-2)-b-2=0\)
\(\Leftrightarrow b=4\)
Suy ra toạ độ \(C(4;-5)\).

Chú ý. Một điểm \(M\) trong mặt phẳng thì toạ độ của nó có dạng \(M(a;b)\) (chứa 2 ẩn chưa biết \(a, b\)). Khi biết điểm \(M\) thuộc đường thẳng nào đó, chẳng hạn \(x-2y+1=0\) thì ta có \(a-2b+1=0\), suy ra \(a=2b-1\). Do đó ta có thể gọi điểm \(M(2b-1;b)\) cho gọn. Nghĩa là có thể giảm bớt ẩn khi biết điểm đó thuộc 1 đường thẳng cho trước.