This page is READ-ONLY. It is generated from the old site.
All timestamps are relative to 2013 (when this page is generated).
If you are looking for TeX support, please go to VietTUG.org

Problem #946

Giải hệ phương trình

Added by little_star [K] [G] over 1 year ago. Updated over 1 year ago.

Status: Closed Start Date: 04-12-2011
Priority: Normal Due date:
Assigned to: tanphu % Done:

90%

Category: Hệ phương trình
Target version: -
Votes: 0/0

Description

hệ 2 pt
\(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4-y} = 4\)
\(\sqrt{2y+3} + \sqrt{4-x} = 4\)

History

Updated by tanphu over 1 year ago

  • Category set to Hệ phương trình
  • Assigned to set to tanphu

Đề bài. Giải hệ phương trình
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\sqrt{2x+3} + \sqrt{4-y} = 4 \quad (1)\\
\sqrt{2y+3} + \sqrt{4-x} = 4 \quad (2)
\end{array}
\right.
\]
Nhận xét. Đây là hệ đối xứng loại 2, trừ hai phương trình ta sẽ được thừa số \(x-y\).
Giải. Điều kiện \(x \ge -\dfrac{3}{2}, y \le 4\).

Cộng và trừ hai phương trình đã cho ta được hệ tương đương sau:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\sqrt{2x+3} + \sqrt{2y+3} + \sqrt{4-x} + \sqrt{4-y} = 8 \quad (3)\\
\sqrt{2x+3} - \sqrt{2y+3} + \sqrt{4-x} - \sqrt{4-y} = 0 \quad (4)
\end{array}
\right.
\]
Nhân chia lượng liên hợp phương trình thứ hai ta được
\(\dfrac{2(x-y)}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{2y+3}} - \dfrac{x-y}{\sqrt{4-x} + \sqrt{4-y}} = 4\)
\(\Leftrightarrow (x-y)\left(\dfrac{2}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{2y+3}}-\dfrac{1}{\sqrt{4-x} + \sqrt{4-y}}\right)=0\)
Trường hợp 1: \(x=y\) thay vào (1) ta có phương trình \(\sqrt{2x+3}+\sqrt{4-x}=4\). Bình phương hai vế, sau đó chuyển vế bình phương tiếp ta tìm được \(x=3, x=\dfrac{11}{9}\). Trường hợp này ta được nghiệm \(x=3,y=3\) và \(x=\dfrac{11}{9}, y=\dfrac{11}{9}\).
Trường hợp 2.
\(\dfrac{2}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{2y+3}} - \dfrac{1}{\sqrt{4-x} + \sqrt{4-y}}=0\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2x+3}+\sqrt{2y+3}-2\left(\sqrt{4-x}+\sqrt{4-y}\right)=0\)
Kết hợp với (3) và đặt \(u=\sqrt{2x+3}+\sqrt{2y+3}, v=\sqrt{4-x}+\sqrt{4-y}\) ta được \(u+v=8, u-2v=0\) và được \(u=\dfrac{16}{3}, v=\dfrac{8}{3}\)
Như vậy ta có
\[\left\{
\begin{array}{l}
\sqrt{2x+3}+\sqrt{2y+3}=\dfrac{16}{3} \quad (5) \\
\sqrt{4-x}+\sqrt{4-y}=\dfrac{8}{3} \quad (6)
\end{array}
\right.\]
Lấy (5) trừ (1) và (5) trừ (2) ta được
\[\left\{
\begin{array}{l}
\sqrt{2y+3}-\sqrt{4-y}=\dfrac{4}{3} \quad (7)\\
\sqrt{2x+3}-\sqrt{4-x}=\dfrac{4}{3} \quad (8)
\end{array}
\right.\]
Nhận xét: Khi giải (7) và (8) ta sẽ được \(x=y\), mà trường hợp \(x=y\) đã xét.
Vậy hệ đã cho cho hai nghiệm \(x=3,y=3\) và \(x=\dfrac{11}{9}, y=\dfrac{11}{9}\).

Updated by tanphu over 1 year ago

  • Priority changed from High to Normal
  • % Done changed from 0 to 90

Updated by tanphu over 1 year ago

  • Status changed from New to Closed