Math Learning

Kim gõ đề nhầm rồi, đề đúng như sau:

Đề bài. Cho \(a, b, c\) thuộc \([0,1]\). Chứng minh \(P = \dfrac{a}{b+c+1} + \dfrac{b}{a+c+1} + \dfrac{c}{a+b+1} + (1-a)(1-b)(1-c) \le 1\).

Hướng giải. Vì vai trò của \(a, b, c\) trong \(P\) là như nhau nên ta có thể giả sử \(a \le b \le c\). Đặt \(S=a+b+c+1\) ta được \(P=\dfrac{a}{S-a}+\dfrac{b}{S-b}+\dfrac{c}{S-c}+(1-a)(1-b)(1-c)\). Coi \(S\) và \(c\) cố định, ta sẽ đánh giá (ước lượng) \(P\) theo \(S\) và \(c\) rồi chứng minh tiếp \(P \le 1\).

Vì \(a \le b \le c\) nên ta có \(S-a \ge S-b \ge S-c\) suy ra \( \dfrac{a}{S-a} \le \dfrac{a}{S-c}\) và \(\dfrac{b}{S-b} \le \dfrac{c}{S-c}\). (Để ý rằng trong một phân số có tử dương và mẫu dương, nếu giảm mẫu số thì giá trị của phân số đó tăng). Từ đó ta được
\(P \le \dfrac{a}{S-c}+\dfrac{b}{S-c}+\dfrac{c}{S-c}+(1-a)(1-b)(1-c)\).
Ta sẽ chứng minh \( (1-a)(1-b) \le \dfrac{1}{S-c} \quad (I)\). Nếu chứng minh được điều này thì ta sẽ có
\(P \le \dfrac{a}{S-c}+\dfrac{b}{S-c}+\dfrac{c}{S-c}+\dfrac{1-c}{S-c}=\dfrac{a+b+c+1-c}{S-c}=\dfrac{S-c}{S-c}=1\)
Ta chứng minh (I), thật vậy, (I) tương đương với
\((1-a)(1-b)(1+a+b) \le 1\), dễ dàng biến đổi được (I) tương đương với
\(a^2+(a+b)b(1-a) \ge 0\).

Bình luận. Cách giải trên đây dành cho lớp 10. Học sinh lớp 12 có thể chứng minh bất đẳng thức này bằng cách dùng đạo hàm. Cố định \(b, c\) coi \(a\) là ẩn \(x\) và xét hàm số \(f(x)\) là biểu thức \(P\). Tính đạo hàm cấp một và cấp 2 của \(f(x)\) sẽ thấy được hướng chứng minh bất đẳng thức đã cho.

Việc còn lại là em hãy trình bày lời giải cho chặt chẽ theo hướng của lớp 10. Nếu có gì chưa hiểu thì liên lạc lại với thầy.