This page is READ-ONLY. It is generated from the old site.
All timestamps are relative to 2013 (when this page is generated).
If you are looking for TeX support, please go to VietTUG.org

Problem #960

Tìm GTLN \(P=(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3\)

Added by tanphu about 1 year ago. Updated about 1 year ago.

Status: Closed Start Date: 02-01-2012
Priority: Normal Due date:
Assigned to: tanphu % Done:

0%

Category: -
Target version: -
Votes: 0/0

Description

Có vài bạn hỏi thầy bài toán sau đây:
Đề. Cho \(a, b, c \ge 0\) và \(a+b+c=1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\[P=(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3\]
Đây là một bài trong đề thi học sinh giỏi tỉnh Đồng Nai năm 2011.
Gợi ý. Áp dụng công thức
\[x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x)\]
Với \(x=a-b\), \(y=b-c\), \(z=c-a\) ta được
\[P=-3(a-c)(b-a)(c-b)\]
Hay \(P=3(a-b)(b-c)(c-a)\).
Để tìm GTLN của \(P\) ta tìm GTLN của \(|P|=3|(a-b)(b-c)(c-a)|\). Vì \(a, b, c\) có vai trò như nhau trong \(|P|\) nên ta có thể giả sử \(a \ge b \ge c\). Ta có \(|P|=3(a-b)(a-c)(b-c)\).Vì \(c \ge 0\) nên
\(|P| \le 3ab(a-b) \). Mặt khác \(a+b \le 1\) nên \(a \le 1-b\) suy ra \(a-b \le 1-2b\). Như vậy \(|P| \le 3(1-b)b(1-2b)\). Vì \(1-2b \ge 0\) nên \(b \in [0;\frac{1}{2}]\).
Đến đây có 2 cách giải tiếp theo
Cách 1. Dùng kiến thức lớp 12, tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f(b)=3(2b^3-3b^2+b)\) trên đoạn \([0;\frac{1}{2}]\) ta được giá trị lớn nhất của \(|P|\) là \(\dfrac{\sqrt{3}}{6}\) khi \(b=\dfrac{3-\sqrt{3}}{6}\). Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(\dfrac{\sqrt{3}}{6}\) đạt được khi \(a=\dfrac{3+\sqrt{3}}{6}\), \(b=\dfrac{3-\sqrt{3}}{6}\), \(c=0\).
Cách 2. Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si cho ba số với việc chọn các hệ số thích hợp để xảy ra dấu bằng (dùng cho lớp 10).

History

Updated by ruby about 1 year ago

    Phức tạp kinh dị :D

    Ta có \(c = 1 - a -b\) nên \[P = 3(a−b)(b−c)(c−a) = 3(a-b)(2b+a-1)(1-2a-b)\] trong đó \(a,b\) là các số không âm sao có tổng không vượt quá 1. Có thể giả sử \(a \ge b\) để làm tiếp. Theo hướng này có làm tiếp được gì không ta?

    Updated by tanphu about 1 year ago

      Bỏ toán lâu rồi mà cũng máu hỉ?

      Nếu chỉ giả sử \(a \ge b\) mà không nói gì đến \(c\) thì chưa biết được dấu của \(P\). Chẳng hạn trường hợp \(a \ge b \ge c\) thì \(P \le 0\). Có thể thấy rằng trong 6 hoán vị của 3 phần tử \(a, b, c\) thì có 3 trường hợp được \(P \ge 0\) và ba trường hợp \(P \le 0\). Do đó phải đi theo con đường đánh giá \(|P|\) và tìm cách ước lượng trội biểu thức \(|P|\) lên để tìm giá trị lớn nhất của \(|P|\).

      Updated by tanphu about 1 year ago

      • Status changed from Assigned to Closed