This page is READ-ONLY. It is generated from the old site.
All timestamps are relative to 2013 (when this page is generated).
If you are looking for TeX support, please go to VietTUG.org

Đạo hàm cấp cao

Ý tưởng

Đối với một hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \(K\), ta có thể lấy đạo hàm của nó. Sau khi lấy đạo hàm, lại tiếp tục xem \(f'(x)\) là một hàm số mới và nếu hàm số đó có đạo hàm, ta lại có thể tiếp tục lấy đạo hàm.

Đạo hàm ta lấy lần thứ hai gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y=f(x)\) ban đầu. Ta nói \(f(x)\) có đạo hàm đến cấp 2. Kí hiệu: \(y''\).

Nếu tình huống tương tự tiếp tục xảy ra, ta có thể lấy đạo hàm của \(f(x)\) đến cấp \(n\), ta nói \(f(x)\) có đạo hàm đến cấp \(n\). Kí hiệu: \(y^{(n)}\)

Dạng bài tập

Dạng 1: Tính đạo hàm cấp \(n\) của một hàm số.

Phương pháp: Có hai khả năng
  1. Nếu đề cho tính đạo hàm cấp \(n\) với \(n\) nhỏ ta có thể lần lượt lấy đạo hàm theo từng bước một để ra kết quả.
    Ví dụ
    Tính đạo hàm cấp hai của hàm số \(y=3x^4+5x^3-x+1\)
    Giải
    Ta có: \(y'=12x^3+15x^2-1\)
    Để tính đạo hàm cấp 2 ta lấy đạo hàm của \(y'\). Ta được
    \(y''=36x^2+30x\)
  2. Nếu đề cho \(n\) lớn hoặc \(n\) tổng quát, ta phải tìm quy luật và chứng minh quy luật ấy bằng phương pháp quy nạp.
    Ví dụ:
    Tìm đạo hàm cấp \(n\) của hàm số sau: \(y=\dfrac{1}{x+1}\)
    Hướng dẫn và giải
  • Yêu cầu: Yêu cầu của bài toán là tính đạo hàm cấp \(n\).
  • Phương án: Tính đạo hàm cấp 1, cấp 2, ... rồi thử tìm quy luật.
  • Phân tích: Đạo hàm cấp 1 tính được \(y'=\dfrac{-1}{(x+1)^2}\). Đạo hàm cấp 2 tính được \(y''=\dfrac{2(x+1)}{(x+1)^4}=\dfrac{2}{(x+1)^3}\). Đạo hàm cấp 3 ta tính được \(y'''=\dfrac{-2.3(x+1)^2}{(x+1)^6}=\dfrac{-6}{(x+1)^4}\). Vấn đề ở đây là ta phải tìm được quy luật của đạo hàm đang lấy theo \(n\). Ta quan sát và dễ dàng nhận thấy rằng có các đối tượng sau:
    • Mẫu: là lũy thừa của \(x+1\), ta để ý quy luật lũy thừa
      • Đạo hàm cấp 1: mũ 2
      • Đạo hàm cấp 2: mũ 3
      • Đạo hàm cấp 3: mũ 4
        Dự đoán đạo hàm cấp \(n\) có lũy thừa của mẫu là: \(n+1\)
    • Dấu của đạo hàm, ta để ý quy luật:
      • Đạo hàm cấp 1: dấu -
      • Đạo hàm cấp 2: dấu +
      • Đạo hàm cấp 3: dấu -
        Dự đoán đạo hàm cấp \(n\) có dấu là \((-1)^n\)
    • Hệ số của tử, hãy để ý quy luật:
      • Đạo hàm cấp 1: 1
      • Đạo hàm cấp 2: 2
      • Đạo hàm cấp 3: 6
        Khó dự đoán hơn 2 trường hợp trên. Tuy nhiên, hãy để ý bước trung gian lấy đạo hàm cấp 3 và thử hình dung đối với đạo hàm cấp 4 (hãy tự lấy đạo hàm cấp 4 nếu chưa rõ) ta dễ dàng dự đoán hệ số của tử là: \(n!\).
  • Bài giải
    • Đạo hàm cấp 1: \(y'=\dfrac{-1}{(x+1)^2}\),
    • Đạo hàm cấp 2: \(y''=\dfrac{2(x+1)}{(x+1)^4}=\dfrac{2}{(x+1)^3}\)
    • Đạo hàm cấp 3: \(y'''=\dfrac{-2.3(x+1)^2}{(x+1)^6}=\dfrac{-6}{(x+1)^4}\)

Dự đoán: Đạo hàm cấp \(n\) \(y^{(n)}=\dfrac{(-1)^n. n!}{(x+1)^{n+1}}\)
Thật vậy: ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

  • Với \(n=1\) dự đoán đúng.
  • Giả sử dự đoán đúng với \(n=k\) tức là \(y^{(k)}=\dfrac{(-1)^k . k!}{(x+1)^{k+1}}\)
  • Ta cần chứng minh dự đoán đúng với \(n=k+1\), tức là: \( y^{(k+1)} = \dfrac{(-1)^{k+1} .(k+1)!}{ (x+1)^{k+2} } \). Thật vậy, ta có

\[y^{(k+1)}=(y^{(n)})'=\dfrac{-(-1)^k. k!.(k+1)(x+1)^{k} }{(x+1)^{2(k+1)} }=\dfrac{(-1)^{k+1}.(k+1)!}{(x+1)^{k+2} }\]

Vậy, dự đoán là đúng và \(y^{(n)}=\dfrac{(-1)^n. n!}{(x+1)^{n+1}}\)

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức đạo hàm.

Phương pháp
Ta cần tính tất cả những đạo hàm xuất hiện trong bài chứng minh, sau đó thay vào bài chứng minh và biến đổi.
Ví dụ
Cho hàm số \(y=\sqrt{2x+x^2}\). Chứng minh rằng \(y^3 y'' + 1=0\)
Hướng dẫn giải
Để ý rằng trong biểu thức cần chứng minh có \(y^3\) và \(y''\) nên ta sẽ tính trước rồi thay vào biểu thức chứng minh sau:
  • \(y^3=\bigl(\sqrt{2x+x^2}\bigr)^3 = (2x+x^2)\sqrt{2x+x^2}\)
  • \(y'=\dfrac{(2x+x^2)'}{2\sqrt{2x+x^2}}=\dfrac{x+1}{\sqrt{2x+x^2}}\)
  • \(y''=\dfrac{(x+1)'\sqrt{2x+x^2} - (x+1)\sqrt{2x+x^2}'}{2x+x^2}=\dfrac{\sqrt{2x+x^2} - \frac{(x+1)^2}{\sqrt{2x+x^2}}}{2x+x^2}=\dfrac{-1}{(2x+x^2)\sqrt{2x+x^2}}\)

Thay vào biểu thức ta được:

\[VT = (2x+x^2)\sqrt{2x+x^2}\dfrac{-1}{(2x+x^2)\sqrt{2x+x^2}}+1 = -1+1= VP \]

Trở về mục lục